Nội dung chính Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 Bài 25: Nhị thức Newton

CHƯƠNG VIII. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

BÀI 25. NHỊ THỨC NEWTON

HĐ1:

Tổng các tích nhận được: a.c + a.d + b.c + c.d

Khai triển của tích (a+b).(c+d) = a.c + a.d + b.c + c.d

Vậy tổng của các tích nhận được bằng với khai triển của tích (a+b).(c+d).

HĐ2: 

1 đơn thức bằng a3,

3 đơn thức bằng a2b, 

3 đơn thức bằng ab2, 

1 đơn thức bằng b3

Các hệ số nhận được 1, 3, 3, 1 trùng với các hệ số tương ứng của a3, a2b, ab2, b3.

Nhận xét: 

Các tích nhận được từ sơ đồ hình cây của tích các đa thức giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau. Hơn nữa, tổng của chúng cho ta khai triển của tích các đa thức đã cho.

HĐ3:

Để có đơn thức a4 thì phải có 0 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C40 =1, hay có 1 đơn thức a4.

Để có đơn thức a3b thì phải có 3 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C41 =4.

Để có đơn thức a2b2 thì có 2 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C42 = 6

Để có đơn thức abn thì có 1 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C43 = 4.

Để có đơn thức b4 thì phải có 4 nhân tử b và không có nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C44 =1, hay có 1 đơn thức b4

Kết luận:

(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4

=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Ví dụ 1 (SGK -tr73)

Luyện tập 1:

x4+4x3(-2)+6x2(-2)2+4x(-2)3+(-2)4=x4-8x3+24x2-32x+16

HĐ4:

- Để có đơn thức a5 thì phải có 5 nhân tử a và 0 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C50 =1, hay có 1 đơn thức a5.

- Để có đơn thức a4b thì phải có 4 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C51 = 5.

- Để có đơn thức a3b2 thì phải có 3 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C52 = 10.

- Để có đơn thức a2b3 thì phải có 2 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C53 = 10.

- Để có đơn thức ab4 thì phải có 1 nhân tử a, 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C54 = 5.

- Để có đơn thức b5 thì phải có 5 nhân tử b và 0 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C55 = 1.

Kết luận:

(a+b)5=C50a5+C51a4b+C52a3b2+C53ab4+C55b5

=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Ví dụ 2 (SGK -tr73)

Luyện tập 2: 

(3x - 2)5 = (3x)5 + 5(3x)4.(-2) + 10.(3x)3.(-2)2 + 10.(3x)2.(-2)3 + 5(3x).(-2)4 + (-2)5

= 243x5 - 810x4 + 1080x3 - 720x2 + 240x -32.

Vận dụng:

4. Khai triển: (1 + 0,05)4 = 14+ 4.13.0,05 + 6.12.0,052+ 4.1.0,053 + 0,054.

1,054  14 + 4.13.0,05 = 1,2

1. 1,054 = 1,21550625

Sai số tuyệt đối là:

|1,21550625 – 1,2| = 0,01550625.