Trong hình 2.34, một chiếc bón đèn được treo cách sàn nhà là 2 m, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 1,5 m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian?

Hình 2.34

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ1 và trình chiếu Hình 2.35 cho HS quan sát.

+ GV dẫn: Trong hình học phẳng, chúng ta chỉ tìm hiểu đến trục tọa độ , còn trong hình học không gian, chung ta sẽ tìm hiểu về trục tọa độ  không gian ba chiều như hình 2.35.

• Trong Hình 2.35 có bao nhiêu mặt phẳng tọa độ? Hãy gọi tên chúng?

• Quan sát hình và cho biết các mặt phẳng đó có đôi một vuông góc với nhau hay không?

+ GV chỉ định một số HS trả lời câu hỏi.

+ GV chính xác hóa câu trả lời bằng cách nêu (hoặc trình chiếu) kiến thức trong khung kiến thức trọng tâm cho HS quan sát.

- GV cho HS quan sát lại hình 2.34 và đọc yêu cầu của phần Câu hỏi.

+ GV mời 1 - 2 HS trả lời các câu hỏi:

• Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ tọa độ  không?

• Mô tả gốc tọa độ, các mặt phẳng tọa độ có trong hình?

- GV vẽ (hoặc trình chiếu) một hình lập phương  lên bảng và cho HS đọc yêu cầu của Ví dụ 1:

Cho hình lập phương  có mỗi độ dài cạnh bằng 1 (H.2.36). Có thể lập được một hệ tọa độ  có gốc  trùng với đỉnh  và các vectơ  lần lượt là các vectơ  không?

+ GV đặt câu hỏi gợi ý:

• Cạnh  có từng đôi một vuông góc với nhau hay không?

• Các vectơ  có cùng điểm đầu là điểm nào, và có độ dài bằng bao nhiêu?

• Vậy, có thể lập một hệ tọa độ có gốc  trùng với đỉnh  và các vectơ  lần lượt là các vectơ  được hay không?

- GV triển khai Luyện tập 1 cho HS vận dụng kiến thức trong Ví dụ 1 để thực hiện yêu cầu của Luyện tập:

Có thể lập được một hệ  có gốc trùng với đỉnh  của hình hộp chữ nhật  và  lần lượt cùng hướng với  không?

+ HS thảo luận nhóm đôi, thực hiện yêu cầu bài toán.

+ Sau thời gian thảo luận, GV chỉ định 2 HS lên bảng trình bày đáp án.

+ HS dưới lớp nhận xét bài làm của hai bạn.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

HĐ1

Hình 2.35

a) Các mặt phẳng tọa độ có trong hình là: .

b) Các mặt phẳng tọa độ trong hình 2.35 đôi một vuông góc với nhau.

Kết luận

Trong không gian, ba trục  đôi một vuông góc với nhau tại gốc  của mỗi trục.

Gọi  lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục .

+ Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc , hay đơn giản là hệ tọa độ .

+ Điểm  được gọi là gốc tọa độ.

+ Các mặt phẳng .

Không gian với hệ tọa độ  còn được gọi là không gian .

Câu hỏi

Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về một hệ tọa độ .

Gốc tọa độ  là góc tường.

Có 3 mặt phẳng tọa độ:

+ Mặt phẳng : là nền căn phòng.

+ Mặt phẳng : là bức tường bên phải.

+ Mặt phẳng : là bức tường bên trái.

Ví dụ 1: SGK – tr.61

Hướng dẫn giải: SGK – tr.61

Luyện tập 1

Hình hộp chữ nhật  có các cạnh  đôi một vuông góc với nhau tại

Mà các vectơ  cùng có điểm bắt đầu là .

Do đó có thể lập được một hệ tọa độ  có gốc  trùng với đình  và các vectơ  lần lượt cùng hướng với các vectơ .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu khái niệm tọa độ của điểm trong không gian.

- GV trình chiếu Hình 2.37 cho HS quan sát và đọc yêu cầu của HĐ2 – SGK.tr.61

+ GV yêu cầu HS nhắc lại về quy tắc hình hộp đã học trong bài “Vectơ trong không gian”.

 Từ đó áp dụng để thực hiện ý a) của HĐ.

+ GV mời một số HS nhắc lại về Định nghĩa tích của một số với một vectơ.

 Từ đó áp dụng thực hiện ý b) của HĐ.

- Từ các kết quả trong HĐ2, GV dẫn dắt và rút ra kết luận: “Với điểm  tùy ý, bộ ba số  trong HĐ2 là duy nhất. Ngược lại, với  thì điểm  xác định duy nhất”.

+ GV ghi bảng (hoặc trình chiếu) kiến thức trong khung kiến thức trọng tâm cho HS ghi bài.

- GV chỉ định một số HS đứng tại chỗ tìm tọa độ của gốc  để trả lời cho phần Câu hỏi.

- GV trình chiếu Hình 2.38 và hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 2

+ Sử dụng quy tắc hình hộp để tính

+  có độ dài lần lượt là 3, 4, 3 đơn vị. Nên:

+ Suy ra tọa độ của điểm  là .

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi, vận dụng kiến thức đã tìm hiểu trong HĐ2 và Ví dụ 2 để thực hiện Luyện tập 2.

+ Sau thảo luận, GV mời 2 HS lên bảng thực hiện giải bài toán.

+ HS dưới lớp quan sát, nhận xét bổ sung.

+ GV nhận xét bài làm của HS và chốt đáp án.

- GV triển khai Ví dụ 3 và trình chiếu Hình 2.40 cho HS quan sát.

+ GV hướng dẫn:

• Áp dụng định nghĩa tích của một số với một vectơ, (với  là các số thực).

Đỉnh  nên  và  cùng phương  .

Tương tự, ta có: .

• Áp dụng quy tắc hình hộp:

=> hay .

Suy ra

• Từ đó suy ra: ; ; .

- Từ hướng dẫn của GV trong Ví dụ 3, HS thảo luận nhóm 3 – 4HS thực hiện Luyện tập 3.

+ Sau thời gian thảo luận, GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện bài giải.

+ GV nhận xét chi tiết bài làm và rút ra kinh nghiệm làm bài cho HS.

- GV trình chiếu lại Hình 2.40 và giải thích cho HS cách xác định tọa độ của điểm  lên các trục  và hình chiếu của  lên các mặt phẳng  và

- GV triển khai Vận dụng 1 và cho HS đọc yêu cầu.

+ GV có thể gọi một số HS phát biểu về cách chọn một hệ tọa độ. Từ đó, GV nhận xét và đưa ra một hệ trục tọa độ phù hợp và dễ tìm tọa độ cho bóng đèn nhất.

+ Có thể chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, với gốc tọa độ là giao điểm của 3 mép tường, nền nhà.

NV2: Tìm hiểu khái niệm tọa độ của vectơ trong không gian.

- GV trình chiếu hình 2.41 triển khai HĐ3.

+ GV chỉ định 1HS nhắc lại khái niệm tọa độ của một điểm trong không gian.

+ Kết hợp với giả thiết  thì HS sẽ suy ra được .

- GV trình bày Khái niệm tọa độ của vectơ trong khung kiến thức trọng tâm.

- GV đặt câu hỏi cho HS:

+ Nếu  thì tọa độ vectơ  có là tọa độ của  không?

+ Nếu cho vectơ  và  thì  khi nào?

- HS đọc – hiểu Ví dụ 1 và trình bày lại cách thực hiện vào vở cá nhân.

+ GV mời 1 HS đứng tại chỗ trình bày đáp án và giải thích cách làm.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi và thực hiện Luyện tập 4.

+ HS áp dụng khái niệm tọa độ vectơ để tìm được . Từ đó suy ra tọa độ của vectơ.

NV3: Tìm hiểu cách thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút

- GV triển khai HĐ4 cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện yêu cầu của HĐ.

+ ý a) GV chỉ định 1 – 2HS nhắc lại khái niệm tọa độ của vectơ trong không gian, từ đó làm cơ sở để thực hiện ý a).

+ ý b) Biến đổi  thành , sau đó sử dụng quy tắc tính tổng hai vectơ, từ đó suy ra được tọa độ của .

 Từ kết quả của phần HĐ, GV trình bày và giảng giải về cách tính tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút trong khung kiến thức trọng tâm.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 5.

+ a) Sử dụng công thức tìm tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút.

Tọa  độ  bằng

=> .

+ b)

• Gọi tọa độ của điểm

Tính được

Mà , từ đó sử dụng tính chất của hai vectơ bằng nhau sẽ tính được .

• Lập luận tương tự để tính được điểm .

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi và thực hiện Luyện tập 5 theo gợi ý của GV:

+ Để  là hình hộp thì hai đáy  và  phải cần có điều kiện gì?

+ Từ đó suy ra mối liên hệ giữa các vectơ  và ;  và .

+ Sử dụng công thức tìm tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút và Hai vectơ bằng nhau để tìm ra tọa độ điểm  và .

- GV chia lớp thành các nhóm ứng với các tổ để thực hiện phần Vận dụng 2.

+ Các nhóm thảo luận, vận dụng kiến thức đã học để xử lí và tìm ra đáp án.

+ GV gợi ý:

• Công thức tính quãng đường trong bài toán chuyển động là gì?

• Do máy bay dịch chuyển theo hướng nam (), thì suy ra độ dịch chuyển theo  là bao nhiêu?

• Độ dịch chuyển theo  có bằng quãng đường máy bay di chuyển trong nửa giờ không?

+ Từ các câu hỏi gợi ý trên, HS trình bày đáp án và hoàn thành bài tập.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian

Khái niệm tọa độ của điểm trong không gian.

HĐ2

a) Sử dụng quy tắc hình hộp ta được:

b) Ta có:  lần lượt là các vectơ đơn vị trên  và  cùng hướng với ;  cùng hướng với ;  cùng hướng với .

Ta có:  ; ;

Kết luận

Trong không gian  cho một điểm  tùy ý. Bộ ba số  duy nhất sao cho  được gọi là tọa độ của điểm  đối với hệ tọa độ . Khi đó, ta viết  hoặc ; trong đó  là hoành độ,  là tung độ và  là cao độ của .

Câu hỏi

Tọa độ của gốc  là .

Ví dụ 2: SGK – tr.62

Hướng dẫn giải: SGK – tr.62

Luyện tập 2

Ta có:

Vậy, tọa độ của điểm  là .

Ví dụ 3: SGK – tr.62

Hướng dẫn giải: SGK – tr.62

Luyện tập 3

Ta có điểm  nên :

+ Hoành độ của  bằng 0.

+ Tung độ của  bằng tung độ của  và bằng 3.

+ Cao độ của  bằng cao độ của  và bằng 5.

=> .

Tương tự,  và .

Nhận xét

Nếu điểm  có tọa độ  đối với hệ tọa độ  thì:

+ Hình chiếu vuông góc của điểm  trên các trục  có tọa độ lần lượt là ,  và .

+ Hình chiếu vuông góc của  trên các mặt phẳng  và  có tọa độ lần lượt là  và .

 và .

Vận dụng 1

Chọn hệ trục  như hình vẽ. Khi đó

Tọa độ của điểm  chính là tọa độ của bóng đèn. Với .

Khái niệm tọa độ của vectơ trong không gian.

HĐ3.

Áp dụng khái niệm tọa độ của điểm trong không gian, ta có:

Mà  nên .

Khái niệm

Trong không gian , cho vectơ  tùy ý. Bộ ba số  duy nhất sao cho  được gọi là tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ . Khi đó, ta viết  hoặc .

Nhận xét

- Tọa độ của vectơ  cũng là tọa độ của điểm  sao cho .

- Trong không gian, cho hai vectơ  và . Khi đó,  nếu và chỉ nếu: .

Ví dụ 1: SGK – tr.63

Hướng dẫn giải: SGK – tr.63

Luyện tập 4

Ta có  suy ra

Vây tọa độ của vectơ  là .

Thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút

HĐ4

 và

a)  

b) Ta có

suy ra:  

=>

Kết luận

Trong không gian , cho hai điểm  và . Khi đó:

Ví dụ 5: SGK – tr.63

Hướng dẫn giải: SGK – tr.63

Luyện tập 5

Để  là hình hộp thì  và  là hình chữ nhật.

* Để  là hình chữ nhật thì

=>  và  cùng phương, cùng chiều .

Gọi tọa độ điểm  là  

=>  

Mà  suy ra

Vậy .

* Để  là hình chữ nhật thì

=>  và  cùng phương, cùng chiều;

Gọi tọa độ của  là

=>  và

Mà  suy ra

Vậy .

Vận dụng 2

Chiếc máy bay bay về phía nam trong nửa giờ, nghĩa là nó di chuyển theo trục  với độ dài  (km).

Do máy bay bay ở độ cao nhất định, nên độ dịch chuyển của nó theo trục  và  bằng 0.

Vậy, toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó là .

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

B

D

A

C

A