Nội dung chính Toán 10 Kết nối tri thức Chương 6 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

CHƯƠNG VI: HÀM SỐ, ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 17. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

HĐ1: 

- Chúng đều là đa thức (của biến x)

- Bậc của đa thức là bậc 2.

Định nghĩa: 

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng y=ax2+bx+c, trong đó, a, b, c là các số thực cho trước (a≠0), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai. 

Luyện tập 1:

Biểu thức là tam thức bậc hai: 

1. -23x2+7x-4

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai ax2+bx+c.

HĐ2: 

1. a) a=1

f(0)=3, f(1)=0, f2=-1, f(3)=0, f(4)=3. 

f(0), f(4) cùng dấu với a, 

f(2) trái dấu với a.

b)

+) (-∞;1) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

+) (1;3) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

+) (3;+∞) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

1. c) 

+) -∞;1: f(x) và a cùng dấu với nhau

+) 1;3: f(x) và a trái dấu với nhau

+) 3;+∞: f(x) và a cùng dấu với nhau.

HĐ3: 

a)

+) (-∞;-1) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

+) (-1;32) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

+) (32;+∞) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

1. c) 

+) -∞;-1: f(x) và a cùng dấu với nhau

+) -1;32: f(x) và a trái dấu với nhau

+) 32;+∞: f(x) và a cùng dấu với nhau.

Nhận xét:

Nếu tam thức bậc hai fx=ax2+bx+c có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 <x2) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi giá trị x∈(-∞;x1)∪x2;+∞ (ở ngoài đoạn hai nghiệm) và trái dấu với a với mọi giá trị x∈(x1;x2) (ở trong khoảng hai nghiệm).

HĐ4: 

Định lí:

Cho tam thức bậc hai fx=ax2+bx+c a≠0

+) Nếu ∆<0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x∈R

+) Nếu ∆=0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x≠-b2a và f-b2a=0.

+) Nếu ∆>0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 (x1<x2). Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ a với mọi x∈-∞;x1x2;+∞; f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x∈(x1; x2) 

Chú ý: Trong định lí về dấu của tam thức bậc hai có thể thay ∆ bởi ∆'. 

Ví dụ 1 (SGK-tr.21)

Luyện tập 2:

1. a) fx=-3x2+x-2

∆=1-122<0 và a=-3<0 nên f(x)<0 với mọi x.

1. b) fx=x2+8x+16

∆'=0 và a=1>0 nên f(x) có nghiệm kép x=-4 và fx>0 với mọi x≠-4.

1. c) fx=-2x2+7x-3

∆=25>0, a=-2<0 và có hai nghiệm phân biệt là x1=12, x2=3. Ta có bảng xét dấu sau:

-2x2+7x-3>0 với mọi x∈12;3 và -2x2+7x-3<0 với mọi x∈-∞;123;+∞.

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HĐ5. 

-2x2+20x+48≤0

Định nghĩa

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng ax2+bx+c>0 (hoặc ax2+bx+c≥0, ax2+bx+c<0,  ax2+bx+c ≤0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và a≠0.

- Số thực x0 gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2+bx+c>0 nếu ax02+bx0+c>0. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2+bx+c>0 gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.

- Giải một bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó.

Nhận xét:

Để giải bất phương trình bậc hai ax2+bx+c>0 (hoặc ax2+bx+c≥0, ax2+bx+c<0,  ax2+bx+c ≤0) ta cần xét dấu của tam thức bậc hai ax2+bx+c, từ đó suy ra tập nghiệm.

Ví dụ 2: (SGK-tr.22)

Ví dụ 3: (SGK-tr.23)

Luyện tập 3:

1. a) Tam thức fx=-5x2+x-1

có: ∆=-16<0 và a=-5<0 nên f(x) luôn âm với mọi x.

Tập nghiệm S=R

1. b) Tam thức fx=x2-8x+16

có ∆=0 và a=1>0 nên f(x) luôn dương với mọi x≠4.

Bất phương trình có nghiệm duy nhất là x=4.

1. c) Tam thức fx=x2-x-6

có ∆=25>0 nên f(x) có hai nghiệm là x1=-2,  x2=3.

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm

 S=-∞;-23;+∞

*Vận dụng:

Xét bất phương trình

 -4,9t2+20t+1>5

⇔-4,9t2+20t-4>0

Nghiệm của phương trình -4,9t2+20t-4=0 là t≈0,21 và t≈3,87

Do đó nghiệm của bất phương trình là 

t∈(0,21;3,87)

Vậy khoảng thời điểm
t∈(0,21;3,87) (s) trong quá trình bay của quả bóng thì nó sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất.