Nội dung chính Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 19: Phương trình đường thẳng

CHƯƠNG VII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 19. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

HĐ1.

Tập hợp những điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với với giá của n.

Định nghĩa: Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.

Nhận xét:

- Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì kn (k≠0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

- Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ 1 (SGK – tr.31)

HĐ2.

AM=x-x0;y-y0

Xét tích n. AM=ax-x0+by-y0=0  (1)

nAM hay AM có giá trùng với đường thẳng ∆ ⇒M∈∆

Nhận xét:

Nếu đặt c=-ax0-by0 thì (1) còn được viết dưới dạng ax+by+c=0 và được gọi là phương trình tổng quát của ∆ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình tổng quát của ∆.

Kết luận:

Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax+by+c=0, với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax+by+c=0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận n(a;b) là một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 2 (SGK – tr.31)

Luyện tập 1:

Đường cao AH đi qua điểm A(-1;5) có một vectơ pháp tuyến là nAH=BC=(4;-2).

Phương trình tổng quát của AH là: 4x+1-2y-5=0

⇔4x-2y+14=0

Ví dụ 2 (SGK – tr.32)

Luyện tập 2:

Ta có: ∆:y=3x+4

⇔∆:3x-y+4=0

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là n=(3;-1)

Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng ∆:ax+by+c=0

+) Nếu b=0 thì phương trình có thể đưa về dạng x=m (với m=-ca) và ∆ vuông góc với Ox

+) Nếu b≠0 thì phương trình có thể đưa về dạng y=nx+p (với n=-ab,  p=-cb)

2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

HĐ3.

Vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng v thì nó sẽ di chuyển trên đường thẳng ∆2.

Định nghĩa: Vectơ u khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét:

- Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì ku (k≠0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

- Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

- Vectơ n(a;b) vuông góc với các vectơ u(-b;a) và v(b;-a) nên nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì u, u là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ 4 (SGK – tr.33)

Luyện tập 3:

Ta có: ∆:2x-y+1=0

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là n=(2;-1)⇒ vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u=(1;2)

HĐ4.

1. a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng qua A(2;1) và có vectơ chỉ phương v(3;4).

2. b) Giả sử tại thời điểm t, vật thể ở vị trí M(x;y). Khi đó AM=tv tức là:

{x-2=3t y-1=4t {x=2+3t y=1+4t

Vậy M(2+3t;1+4t)

Định nghĩa: Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x0;y0)và có vectơ chỉ phương ua;b. Khi đó điểm M(x;y) thuộc đường thẳng ∆ khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho AM=tu, hay {x=x0+at y=y0+bt     (2)

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ (t là tham số).

Ví dụ 5 (SGK – tr.33)

Luyện tập 4:

Ta có: d:3x-4y-1=0

nd=(2;-1)⇒ud=(1;2)

Vì ∆//d⇒u∆=ud=(1;2)

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M(2;-3) và có vectơ chỉ phương u∆=(1;2) là: 

{x=-1+4t y=2+3t  .

Ví dụ 6 (SGK – tr.33)

Luyện tập 5:

Ta có: Ax1;y1, Bx2;y2

uAB=AB=(x2-x1; y2-y1)

Phương trình tham số của đường thẳng AB:

{x=x1+(x2-x1)t y=y1+(y2-y1)t  

Vì uAB=(x2-x1; y2-y1)

nAB=(y2-y1; -x2+x1)

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB: 

(y2-y1)(x-x1) -(x2-x1)(y-y1)=0

Vận dụng:

Ta có: A0;32, B100;212

uAB=AB=(100; 180)

nAB=(9;-5)

Phương trình đường thẳng AB đi qua A(0;32) và có nAB=(9;-5) là:

9x-5y+160=0

⇔x=5y-1609

Khi y=0℉ ta có:

x=5.0-1609=-1609℃

Khi y=100℉ ta có:

x=5.100-1609=3409℃

Vậy 0℉, 100℉ tương ứng xấp xỉ -18℃, 38℃