Nội dung chính Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

CHƯƠNG VII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 21. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

HĐ1.

Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi khoảng cách IM = R.

Hay: x-a2+y-b2=R

Định nghĩa:

Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a;b), bán kính R khi và chỉ khi x-a2+y-b2=R2   (1)

Ta gọi (1) là phương trình đường tròn (C) 

Ví dụ 1 (SGK – tr.43)

Luyện tập 1

C: x+22+y-42=7

Có tâm I(-2;4), bán kính R=7

Nhận xét:

Phương trình (1) tương đương với x2+y2-2ax-2by+a2+b2-R2=0

Ví dụ 2 (SGK – tr.44)

Nhận xét: Phương trình x2+y2-2ax-2by+c=0 là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi 

a2+b2-c>0. Khi đó, (C) có tâm I(a;b) và bán kính R=a2+b2-c

Luyện tập 2

1. a) Đây không là phương trình của đường tròn vì hai hệ số của x2 và y2 không bằng nhau nên ta không thể biến đổi về dạng phương trình đường tròn.

2. b) Phương trình đã cho không là phương trình đường tròn vì a2+b2-c=-12+22-6=-1<0

3. c) Ta có: a2+b2-c=11>0

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(-3;2) và có bán kính R=a2+b2-c=11

Ví dụ 3 (SGK – tr.44)

Luyện tập 2

Gọi điểm I(x; y) là tâm của đường tròn (C), ta có: IM = IN = IP

Ta có: IM=x-42+y+52

IN=x-22+y+12

IP=x-32+y+82

Vì IM = IN = IP nên ta có hệ phương trình

{x-42+y+52= x-22+y+12 x-22+y+12= x-32+y+82

{-4x+8y=-36 2x-14y=68 {x=-1 y=-5

⇒I(-1;-5)

R=-1-42+-5+52=5

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

(x+1)2+(y+5)2=25

Vận dụng 1

Gọi bán kính bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là x, y (m). Khi đó, tổng chu vi ba bể là 32m khi và chỉ khi 1,57x+2,57y-8=0

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (m2). Khi đó

x2+y2=S3,14

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): x2+y2=S3,14 có tâm O(0;0), bán kính R=S3,14 và đường thẳng ∆: 1,57x+2,57y-8=0. Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Ta có: R≥d(O;∆)

Mà dO;∆=1,57+2,57.0-81,572+2.572≈2,66

⇒R≥2,66

Dấu “=” xảy ra khi đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C).

Vậy bán kính của bể nhỏ nhất cần tìm là R=2,66m

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

HĐ2.

1. a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn ta có:

4-12+-2-22=25

32+-42=25

⇔25=25 (đúng)

Vậy M thuộc đường tròn (C).

1. b) C: x-12+y-22=25

có tâm I(1;2), bán kính R=5

1. c) Do IM⊥∆⇒IM là một vectơ pháp tuyến của ∆

n∆=IM=(3;-4)

Phương trình tổng quát của ∆ là:

∆:3x-4-4y+2=0

⇔∆:3x-4y-20=0

Kết luận:

Cho điểm Mx0,y0 thuộc đường tròn C: x-a2+y-b2=R2 (tâm I(a;b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến ∆ của (C) tại Mx0,y0 có vectơ pháp tuyến MI=(a-x0;b-y0) và phương trình a-x0x-x0+b-y0y-y0=0

Ví dụ 4 (SGK – tr.46)

Luyện tập 4

Do 12+02-2.1+4.0+1=0, nên điểm N thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) . Tiếp tuyến của (C) tại N có vecto pháp tuyến là IN=(0;2) 

Phương trình tiếp tuyến là: 0.(x-1)+2(y-0)=0 hay y=0

Vận dụng 2:

Khi tới vị trí M(3;4), vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó bay theo hướng tiếp tuyến d của đường tròn tại điểm M. Do đó d đi qua điểm M và nhận vectơ OM=(3;4) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của d là:

3(x-3)+4(y-4)=0

⇔3x+4y-25=0