Giáo án hệ thống kiến thức toán 11 kết nối tri thức

CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

------------------------------------------------------------

KIẾN THỨC LÝ THUYẾT

Sơ đồ 1: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

1. Dãy số

Định nghĩa dãy số

• Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số), kí hiệu là

- Ta thường viết  thay cho  và kí hiệu dãy số bởi , do đó dãy số  được viết dưới dạng khai triển

- Số gọi là số hạng đầu,  là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

- Nếu với mọi n, ta nói  là dãy số không đổi.

• Hàm số u xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; ...; m} thì được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của dãy số này là , trong đó gọi là số hạng đầu và gọi là số hạng cuối.

Các cách cho một dãy số

• Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).
• Công thức của số hạng tổng quát.
• Phương pháp mô tả.
• Phương pháp truy hồi.

Dãy số tăng, dãy số giảm

• Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu , với mọi
• Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ,với mọi

Dãy số bị chặn

• Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho với mọi
• Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho với mọi
• Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao cho với mọi

1. Cấp số cộng

- Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d,. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Cấp số cộng  với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi

với

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng  có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát  của nó được xác định bởi công thức :

 với

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng  với công sai d. Đặt  Khi đó

Hay

III. Cấp số nhân

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Cấp số nhân  với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi

 với

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân  có số hạng đầu và công bội q thì số hạng tổng quát  của nó được xác định bởi công thức

 với

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

• Giả sử là một cấp số nhân có công bội . Đặt . Khi đó
• Khi thì

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN 1

1. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Khoanh tròn chữ cái trước câu trả lời đúng:

Câu 1: Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy là cấp số cộng?

1. a) Dãy số với b) Dãy số  với
2. c) Dãy số với d) Dãy số  với
3. 4.
4. 2.
5. 1.
6. 3.

Câu 2: Cho dãy số 4, 12, 36, 108, 324,…. Số hạng thứ 10 của dãy số đó là

73872. 73872.
73873. 77832.
73874. 72873.
73875. 78732.

Câu 3: Cho một cấp số nhân có  khi đó số hạng bằng bao nhiêu ?

32. 32.
33. 64.
34. .
35. .

Câu 4: Cho một cấp số cộng  có  Tìm công sai .

1. .
2. .
3. .
4. .

Câu 5: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

1. Dãy số giảm.
2. Dãy số không tăng không giảm.
3. Dãy số tăng.
4. Dãy số vừa tăng vừa giảm.

Câu 6: Cho dãy số   với  . Khẳng định nào sau đây là sai?

1. Năm số hạng đầu của dãy là: .
2. Là dãy số tăng.
3. Bị chặn trên bởi số M .
4. D. Không bị chặn.

Câu 7: Một cấp số nhân có số hạng đầu  công bội Biết  Tìm n.

Câu 8: Cho cấp số nhân  biết  Tính công bội q của cấp số nhân.

1. .
2. .
3. .
4. .

Câu 9: Cho cấp số cộng  có số hạng đầu  và công sai . Giá trị của  bằng

17. 17.
18. 22.
19. 12.
20. 25.

Câu 10: Cho dãy số  có số hạng tổng quát . Số là số hạng thứ mấy?

300. 300.
301. 212.
302. 250.
303. 249.
304. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1: Cho cấp số cộng  có  và . Số hạng thứ  bằng bao nhiêu?

Câu 2: Cho cấp số nhân  có . Tính số hạng đầu  và công bội  của cấp số nhân.

Câu 3: Xét tính tăng giảm của dãy số sau

1. a) Dãy , với .
2. b) Dãy , với

Câu 4: Cho cấp số cộng  có công sai  và  đạt giá trị nhỏ nhất. Số  là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho.