Giáo án NLS chuyên đề Toán 11 Bài 8: Một vài khái niệm cơ bản

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 4.

- GV giới thiệu về đỉnh bậc n. 

+ Chú ý về đỉnh cô lập, đỉnh treo.

+ GV cho HS quan sát ví dụ hình 2.5 và chỉ ra các bậc của các đỉnh.

- HS đọc, quan sát Ví dụ 4, giải thích.

- GV giới thiệu về định lí bắt tay và hệ quả.

- GV có thể hướng dẫn chứng minh: tổng bậc của tất cả các đỉnh bằng hai lần số cạnh.

+ Ví dụ mỗi cạnh AB trong đồ thị, thì sẽ được tính một lần trong bậc của A và một lần trong bậc của B. 

Nên tổng tất cả các bậc của đỉnh bằng 2 lần số cạnh.

- Từ kết quả đó thì tổng tất cả các bậc của các đỉnh phải là số chẵn (vì bằng 2m, với m là số cạnh của đồ thị).

- GV có thể yêu cầu HS chứng minh hệ quả từ định lí.

+ Do tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn.

Ta có: với các đỉnh có bậc chẵn tổng các bậc là số chẵn.

Với các đỉnh có bậc lẻ thì tổng cũng phải là số chẵn để tổng tất cả các bậc chẵn. Nên số đỉnh bậc lẻ của đồ thị là số chẵn.

- HS đọc hiểu và trình bày Ví dụ 5,Ví dụ 6.

+ GV hướng dẫn ví dụ 5, gọi số đỉnh bậc 3 là x, rồi biểu diễn các dữ kiện đã cho theo ẩn.

+ GV hướng dẫn: với ví dụ 6, bài toán mở đầu, có thể mô hình hóa thành đồ thị với mỗi người là 1 đỉnh, hai đại biểu bắt tay nhau thì ta có 1 cạnh.

+ Theo số liệu cung cấp, xác định số đỉnh bậc 0, bậc 4, bậc 5, bậc 6.

- HS áp dụng làm Luyện tập 4. GV hướng dẫn:

+ Đặt x là số đỉnh bậc 3 của đồ thị.

+ Biểu diễn số đỉnh bậc 4 theo x.

+ Biểu diễn tổng số bậc của đỉnh, rồi giải phương trình.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Bậc của đỉnh

HĐ 4: 

Đỉnh có đầu mút của 0 cạnh là: G,

Đỉnh có đầu mút của 1 cạnh là: F,

Đỉnh có đầu mút của 2 cạnh là: A, B.

Đỉnh có đầu mút của 3 cạnh là: D, E.

Kết luận:

Một đỉnh của đồ thị được gọi là đỉnh bậc n nếu nó là đầu nút của n cạnh.

Chú ý: Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo.

Ví dụ:

D là đỉnh bậc 3, F là đỉnh treo, G là đỉnh cô lập.

Ví dụ 4 (SGK – tr.37)

Định lí (định lí bắt tay):

Trong mọi đồ thị G, tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn và bằng hai lần tổng tất cả các cạnh của G.

Hệ quả:

Số đỉnh bậc lẻ của mọi đồ thị là một số chẵn.

Ví dụ 5 (SGK -tr.38)

Ví dụ 6 (SGK – tr.38)

Luyện tập 4:

Gọi là số đỉnh bậc 3 của đồ thị.

Khi đó, ta có số đỉnh bậc 4 là:

Tổng số bậc của các đỉnh là:

Vì đồ thị có 28 cạnh nên ta có:

Tức là

Phương trình này không có nghiệm là số tự nhiên, do đó không tồn tại đồ thị thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS quan sát Hình 2.7 và hoàn thành HĐ 5.

- GV tổng hợp câu trả lời và giới thiệu các khái niệm trong Khung kiến thức:

+ Đường đi, chu trình.

+ Độ dài của đường đi/chu trình.

+ Đường đi/chu trình sơ cấp và đơn giản.

- HS đọc hiểu Ví dụ 7 để nắm cách liệt kê các chu trình sơ cấp theo độ dài cho trước.

- GV giao nhiệm vụ HS thực hiện Luyện tập 5.

- GV tiếp tục yêu cầu HS quan sát Hình 2.10 và hoàn thành HĐ 6.

- GV giới thiệu các khái niệm về tính liên thông trong Khung kiến thức: hai đỉnh liên thông, đồ thị liên thông, cầu, đồ thị con liên thông và thành phần liên thông.

- HS theo dõi Ví dụ 8 để hiểu cách chia đồ thị thành các thành phần liên thông.

+ GV nhấn mạnh định lí quan trọng được rút ra từ Ví dụ 8: Một đồ thị 2n đỉnh, mỗi đỉnh có bậc ít nhất bằng n, là đồ thị liên thông.

- HS đọc và phân tích mô hình đồ thị ở Ví dụ 9.

- HS áp dụng định lí trên để giải Luyện tập 6. GV gợi ý đếm số đỉnh của đồ thị và xét bậc của từng đỉnh.

- GV yêu cầu HS so sánh trực quan cấu trúc của mạng nơ-ron nhân tạo AI (mô hình học sâu) với một đồ thị toán học (đỉnh là các nơ-ron, cạnh là trọng số kết nối).

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, thảo luận nhóm đôi để hoàn thành các HĐ và Luyện tập.

- HS đặt prompt hỏi AI phân tích cấu trúc đồ thị mạng nơ-ron AI.

- GV quan sát, định hướng và hỗ trợ các nhóm gặp khó khăn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- Đại diện các nhóm giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày kết quả Luyện tập 5 và Luyện tập 6.

- Một số HS khác theo dõi, nhận xét và bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định:

- GV đánh giá, chuẩn hóa kiến thức trọng tâm về đường đi, chu trình, tính liên thông và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

3. Đường đi và chu trình

a) Khái niệm đường đi và chu trình

HĐ 5: 

a) Các cách đi từ đỉnh A đến đỉnh E (không đi qua cạnh nào quá một lần):

ABDE, ACDE, ABCDE, ACBDE.

b) Các cách đi từ đỉnh A và quay về đỉnh A:

ABCA, ACDA, ABDCA, ACBDA.

Kết luận:

- Trong một đồ thị G, một dãy cạnh nối tiếp (hai cạnh nối tiếp là hai cạnh có chung một đầu mút) AB, BC, CD,…, MN, NP gọi là một đường đi nối A với P, kí hiệu là ABCD…MNP.

- Điểm A gọi là đầu đường, điểm P gọi là cuối đường.

- Một đường đi khép kín (đầu đường trùng với cuối đường) gọi là một chu trình.

- Một đường đi (chu trình) qua n cạnh gọi là một đường đi (chu trình) có độ dài n.

- Một đường đi (hay chu trình) là sơ cấp nếu nó không đi qua đỉnh nào hai lần trở lên.

- Một đường đi (chu trình) là đơn giản nếu nó không đi qua cạnh nào hai lần trở lên.

Ví dụ 7 (SGK – tr.39)

Luyện tập 5 – SGK tr.39

Một số chu trình sơ cấp xuất phát từ đỉnh A:

- Độ dài 4: ABCDA, ABCEA, ABDCA, ABDEA, ABEDA, ABECA, ACBDA, ACBEA, ACDBA, ACDEA, ACEBA, ACEDA, ADBEA, ADBCA, ADCEA, ADCBA, ADEBA, ADECA, AEBDA, AEBCA, AECDA, AECBA, AEDCA, AEDBA.

- Độ dài 5: ABCDEA, ABCEDA, ABECDA, ABEDCA, ABDCEA, ABDECA, ACBEDA, ACBDEA, ACDEBA, ACDBEA, ACEDBA, ACEBDA, ADBECA, ADBCEA, ADCBEA, ADCEBA, ADECBA, ADEBCA, AECDBA, AECBDA, AEDCBA, AEDBCA, AEBCDA, AEBDCA.

b) Tính liên thông của đồ thị

HĐ 6:

a) Một đường đi từ đỉnh A đến đỉnh E: A → C → E (hoặc A → B → C → E).

b) Không tồn tại đường đi từ đỉnh A đến đỉnh F (vì F là đỉnh cô lập).

Kết luận:

- Hai đỉnh A và B của một đồ thị gọi là liên thông nếu có một đường đi nối A và B.

- Đồ thị G được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của G là liên thông.

- Một cạnh CD của đồ thị G gọi là một cầu nếu khi bỏ cạnh CD thì hai đỉnh C và D không còn liên thông nữa.

- Mỗi đồ thị G không liên thông đều được chia thành một số đồ thị (gọi là đồ thị con của G) liên thông, rời nhau, mỗi đồ thị con đó gọi là một thành phần liên thông của G.

Ví dụ 8 (SGK - tr.39)

Định lí: Một đồ thị 2n đỉnh, mỗi đỉnh có bậc ít nhất bằng n, là đồ thị liên thông.

Ví dụ 9 (SGK - tr.39, 40)

Luyện tập 6:

- Đồ thị ở Hình 2.12 có tất cả 8 đỉnh, tức là 2n = 8 → n = 4.

- Bằng cách quan sát đồ thị, ta thấy từ mỗi đỉnh bất kì đều có các cạnh nối với đúng 4 đỉnh khác. Do đó, mọi đỉnh của đồ thị đều có bậc là 4 n.

- Áp dụng định lí đã học ở Ví dụ 8, ta suy ra đồ thị ở Hình 2.12 là đồ thị liên thông.

- Một đường đi nối đỉnh 1 và đỉnh 6 có thể là: 126.

So sánh trực quan cấu trúc của mạng nơ-ron nhân tạo AI với một đồ thị toán học:

+ Mạng nơ-ron nhân tạo là một đồ thị có hướng và có trọng số, trong đó các nơ-ron đóng vai trò là đỉnh (vertex) và các liên kết giữa chúng đóng vai trò là cạnh (edge). Tuy nhiên, mạng nơ-ron có cấu trúc phân tầng đặc thù và mang tính định hướng dòng chảy dữ liệu rõ rệt hơn đồ thị toán học thông thường.

+ Cấu trúc cơ bản:

• Đỉnh (Nơ-ron): Đại diện cho các nút tính toán, chứa giá trị kích hoạt và hàm phi tuyến tính.
• Cạnh (Trọng số): Đại diện cho mức độ quan trọng của kết nối, điều chỉnh tín hiệu truyền đi giữa các nơ-ron.
• Chiều (Hướng đi): Dữ liệu truyền từ lớp đầu vào qua các lớp ẩn đến lớp đầu ra, tạo thành đồ thị có hướng không có chu trình (DAG) ở mạng truyền thẳng cơ bản.

11.C5.1: HS nhận diện và chỉ ra mối liên hệ bản chất giữa mô hình học sâu AI với đồ thị toán học.