Quy tắc cốt lõi:
- Với , ta có ; Với , ta có .
- Phép toán giới hạn hữu hạn: Nếu và thì ; ; (với ).
- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (): .
Ví dụ tiêu biểu: Tìm giới hạn dãy số: .
- Giải: Chia cả tử và mẫu cho :

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

2. Giới hạn của hàm số (Tại một điểm, vô cực và giới hạn một bên)

Quy tắc cốt lõi:
- Giới hạn một bên: .
- Các giới hạn đặc biệt: (); .
- Các dạng vô định thường gặp: . Phương pháp giải: Phân tích nhân tử khử mẫu triệt tiêu hoặc nhân lượng liên hợp.
Ví dụ tiêu biểu: Tính giới hạn .
- Giải (Dạng vô định ):

3. Hàm số liên tục

Quy tắc cốt lõi:
- Hàm số liên tục tại điểm .
- Hàm số liên tục trên một đoạn nếu nó liên tục trên và , .
- Định lý giá trị trung gian: Nếu liên tục trên đoạn và thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .
Ví dụ tiêu biểu: Cho hàm số . Tìm để hàm số liên tục tại .
- Giải: Ta có .

Để hàm số liên tục tại thì .

II. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Kỹ thuật khử dạng vô định: Học sinh cần thành thạo phương pháp chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất (đối với giới hạn tại vô cực ) và phương pháp phân tích nhân tử/nhân lượng liên hợp (đối với dạng ).
Công thức Cấp số nhân lùi vô hạn: Đây là nội dung thường xuất hiện trong các câu hỏi thực tế (như hành trình chuyển động, bài toán cơ học, kinh tế) với công thức cốt lõi .
Mối quan hệ giữa giới hạn hai bên và giới hạn một bên: Giới hạn tại một điểm tồn tại khi và chỉ khi hai giới hạn một bên tại điểm đó tồn tại và bằng nhau. Kiến thức này áp dụng trực tiếp cho hàm số cho bởi nhiều công thức.
Điều kiện cần và đủ của tính liên tục: Hàm số chỉ liên tục tại một điểm khi đồng thời thỏa mãn: xác định tại điểm đó, tồn tại giới hạn tại điểm đó và giá trị giới hạn trùng với giá trị hàm số.
Ứng dụng định lý Bolzano (Giá trị trung gian): Sử dụng tính liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng mà không cần giải trực tiếp phương trình đó.

III. BỐ CỤC SLIDE PPTX

Slide 1: Tiêu đề chuyên đề
- Tiêu đề: Ôn tập cuối chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục.
- Nội dung: Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm & Giải quyết các dạng toán tổng hợp.
Slide 2: Sơ đồ tư duy lý thuyết chương V
- Tiêu đề: Tóm tắt hệ thống kiến thức.
- Nội dung: Sơ đồ liên kết 3 mảng lớn: Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục.
Slide 3: Các dạng bài tập về Giới hạn dãy số
- Tiêu đề: Dạng 1: Giới hạn dãy số & Cấp số nhân lùi vô hạn.
- Nội dung: Các công thức tính nhanh; Phương pháp xử lý đa thức/lũy thừa bậc cao; Ví dụ tính tổng lùi vô hạn.
Slide 4: Các dạng bài tập về Giới hạn hàm số
- Tiêu đề: Dạng 2: Giới hạn hàm số và Kỹ thuật khử vô định.
- Nội dung: Các phương pháp: Phân tích nhân tử, nhân liên hợp, giới hạn một bên.
Slide 5: Bài tập xét tính liên tục của hàm số
- Tiêu đề: Dạng 3: Tính liên tục của hàm số.
- Nội dung: Xét tính liên tục tại một điểm và trên một khoảng; Bài toán tìm tham số để hàm số liên tục.
Slide 6: Ứng dụng định lý giá trị trung gian
- Tiêu đề: Dạng 4: Chứng minh phương trình có nghiệm.
- Nội dung: Phương pháp 3 bước sử dụng định lý giá trị trung gian; Ví dụ minh họa thực tế đối với phương trình đa thức bậc cao.
Slide 7: Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập nhanh
- Tiêu đề: Trắc nghiệm củng cố (Luyện phản xạ).
- Nội dung: Đưa ra 3-4 câu trắc nghiệm tổng hợp quét nhanh lý thuyết và bài tập tính nhanh của toàn chương.
Slide 8: Tổng kết & Dặn dò
- Tiêu đề: Kế hoạch ôn tập.
- Nội dung: Nhấn mạnh các lỗi sai học sinh thường gặp khi làm bài kiểm tra chương V; Giao bài tập tự luyện nâng cao.