Bài tập file word Toán 6 Chân trời sáng tạo Bài 5: Trung điểm của đoạn thẳng

BÀI 5. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG (21 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB=7cm. Gọi C là điểm  nằm giữa A và B, AC=3 cm . M là trung điểm của BC. Tính BM.

Đáp án:

Vì điểm Cnằm giữa hai điểm A và B

Nên AC+BC=AB⇒3+BC=7

Suy ra BC=7-3=4 (cm)

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng BC

Nên BM=BC2=42=2 (cm).

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB=6cm. M là điểm nằm giữa hai điểm A và B. Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AM và MB. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Đáp án:

Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên AM+MB=AB

Vì C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AM và MB nên ta có:

CM=AM2, MD=MB2.

Vì M nằm giữa A và B, Cnằm giữa A và M, Dnằm giữa M và B, suy ra M nằm giữa Cvà D

Do đó CD=CM+MD=AM2+MB2=AB2=62=3 (cm).

Bài 3: Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA=5 cm, OD=2 cm, BC=4 cm và độ dài đoạn AC gấp đôi độ dài đoạn BD. Tính độ dài các đoạn BD, AC.

Đáp án:

Vì A nằm giữa B và C nên BA+AC=BC⇒BA+AC=4⇒AC=4-AB 1

Vì A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ⇒B nằm giữa A và D.

Trên tia Ox, ta có OD<OA (2<5)

Nên điểm D nằm giữa hai điểm O và A.

Suy ra : OD+DA=OA

2+DA=5

⇒DA=3 (cm).

Vì Bnằm giữa hai điểm Avà D

Nên  DB+BA=DA ⇒DB+BA=3

⇒BD=3-AB 2

Từ 1và 2ta có: AC-BD=1       3

Theo đề ra: AC=2BD thay vào 3

Ta có 2BD-BD=1

⇒BD=1 (cm) ⇒AC=2BD

⇒AC=2 (cm)

Vậy AC=2 (cm), BD=1 (cm).

Bài 4: Đoạn thẳng AB= 36 cm được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng AM, MN, NP và PB. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM, MN, NP,PB. Biết độ dài của đoạn thẳng EH = 30 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng FG.

Đáp án:

Vì đoạn thẳng AB được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng AM, MN, NP, PB nên suy ra các điểm M, N, P nằm giữa hai điểm A, B theo thứ tự Mnằm giữa A và N, N nằm giữa M và P, P nằm giữa N và B.

Mặt khác : E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳngAM, MN, NP, PB nên điểm E nằm giữa hai điểm A và H, điểm Hnằm giữa hai điểm E và B.

Do đó ta có: AE+EH+HB=AB

MàAB = 36, EH = 30.

Suy ra: AE+30+HB=36 

⇒AE+HB=36–30=6             1

Mà AE=AM2và HB=PB2 (do E và H là trung điểm của AM và PB)  2

Từ  1và 2ta có : 

AE+HB=AM2+PB2=AM+PB2=6

⇒AM+PB=12 (cm).

Vì các điểm M, N, P nằm giữa hai điểm A, B theo thứ tự Mnằm giữa A và N, N nằm giữa M và P, P nằm giữa N và B nên ta có: AM+MP+PB=AB

Suy ra: MP=AB–AM+PB=36–12⇒MP=24cm. 

Mặt khác F, G lần lượt là trung điểm của MN, NP nên ta có: FN=MN2; NG=NP2

Do đó ta có: FN+NG=MN2+NP2=MN+NP2 (*)

Theo đề bài, thứ tự các điểm chia và thứ tự trung điểm các đoạn thẳng thì N là điểm nằm giữa hai điểm F, G và N là điểm nằm giữa hai điểm M, P.

Do đó ta có: FN+NG=FG, MN+NP=MP

Thay vào (*) ta có: FG=MP2=242=12 (cm)

Vậy độ dài đoạn thẳng FG là 12 (cm).

Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài 28 cm được chia thành ba đoạn thẳng không bằng nhau theo thứ tự  AC, CD và DB. Gọi E, F là trung điểm của đoạn thẳngAC, DB. Biết độ dài đoạn EF=16 cm. Tìm độ dài đoạn CD.

Đáp án:

Đoạn AB được chia thành ba đoạn theo thứ tự AC, CD và DB.

Vậy hai điểm C, D nằm giữa hai điểm A và B.

Vì E là trung điểm của ACnên AE=AC2 1

F là trung điểm của DB nên FB=DB2 2

Từ 1và 2có : AE+FB=AC2+DB2⇒AE+FB=AC+BD2

Vì điểm E và điểm F nằm giữa hai điểm A, B và  điểm E nằm giữa hai điểm A, F

Nên: AE+EF+FB=AB⇒AE+FB=AB-EF

Suy ra AE+FB=AC+BD2=28-16=12

Suy ra: AC+BD=24 (cm)

Vậy đoạn CD=AB-(AC+BD)=28-24=4 (cm)

2. THÔNG HIỂU (6 BÀI)

Bài 1: Trên tia Ox  vẽ 2 đoạn thẳng OM  và ON  sao cho ,  

1. a) Điểm M có nằm giữa hai điểm O và N không? Tại sao?
2. b) Tính độ dài đoạn thẳng MN .
3. c) Điểm M có là trung điểm của đoạn thẳng ON không? Tại sao?
4. d) Lấy E là trung điểm của đoạn thẳng MN . Tính độ dài đoạn thẳng

Đáp án:

1. a) Trên tia Ox có OM<ON (vì 3cm<6cm) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N.
2. b) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N nên ta có:

 OM+MN=ON 

⇒  

1. c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N; OM=MN=3cm nêm điểm M là trung điểm của đoạn thẳng
2. d) Vì E là trung điểm của đoạn thẳng MN nên ta có:

Trên tia NO có NE< NO (vì 1,5cm<6cm) nên điểm E nằm giữa hai điểm O và N

⇒ OE+EN=ON 

⇒

Bài 2:  Cho O là điểm thuộc đường thẳng xy . Trên tia Ox lần lượt lấy các điểm A; B và C sao cho , , .

1. a) Trong ba điểm O;B;A , điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
2. b) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OC không? Vì sao?
3. c) Trên tia Oy lấy điểm D sao cho . So sánh độ dài đoạn thẳng AD và OB .

Đáp án:

1. a) Trên tia Ox có (vì 3cm < 8cm) nêm điểm A nằm giữa hai điểm O và B.
2. b) Trên tia Ox có (vì 3cm < 6cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và C

⇒ OA+AC=OC 

⇒ AC=OC–OA=6-3=3 (cm)

Vì điểm A nằm giữa hai điểm O và C; OA=AC=3cm nêm điểm A là trung điểm của đoạn thẳng OC.

1. c) Vì tia Ox và Oy là hai tia đối nhau mà A ∈ Ox, D ∈ Oy  ên điểm O nằm giữa hai điểm O và D

⇒ (cm)

Vậy AD>OB (vì 9cm>8cm ) 

Bài 3: Trên tia lấy hai điểm B và C sao cho AB=3cm, AC=4cm.

1. Tính độ dài đoạn BC.
2. Vẽ tia là tia đối của tia , trên tia lấy điểm D sao cho AD=3cm. Tính BD và CD.

Đáp án:

1. Trên tia : AB=3cm, AC=4cm. Vì AB<AC nên  điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

Do đó: AB+BC=AC

Hay BC=AC-AB=4-3=1(cm).

1. Vì tia là tia đối của tia , trên tia lấy điểm D,  trên tia lấy hai điểm B và C nên  điểm A nằm giữa hai điểm D và C; điểm A nằm giữa hai điểm D và B.

+ Ta có: DA+AB=DB

Hay BD=3+3=6(cm)

+ Có: DA+AC=CD

HayCD=3+4=7(cm)

Vậy BD=6cm;CD=7cm.

Bài 4: Trên tia Ox lấy hai điểm sao cho , OB=6cm .

1. a) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
2. b) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm C sao cho OC=3cm . Tính độ dài đọan thẳng AC.
3. c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OB.  Điểm O có là trung điểm của đoạn thẳng CI không? Vì sao?

Đáp án:

1. a) Trên tia Ox có OA<OB (vì 2cm < 6cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B.

⇒ OA+AB=OB 

⇒ AB=OB–OA=6–2=4 (cm)

1. b) Vì OC là tia đối của tia Ox, A∈Ox nên điểm O nằm giữa hai điểm A và C

⇒ AC=OA+OC=2+3=5 (cm)

1. c) Vì I là trung điểm của OB nên 

Vì OC và Ox là hai tia đối nhau mà 

I∈Ox nên điểm O nằm giữa hai điểm I và C, lại có OC=OI=3cm nên O là trung điểm của đoạn thẳng CI

Bài 5: Cho đoạn thẳng AB. Gọi M và N  lần lượt là trung điểm của AB và AM . 

Giả sử AN=1,5cm. Tính AB .

Đáp án:

Do N là trung điểm của AM nên ta có:

AN=NM=AM2 

⇒AM=2AN=1,5.2=3(cm) 

Do M là trung điểm của AB nên ta có:

AM=BM=AB2 

⇒AB=2AM=3.2=6(cm) 

Vậy AB=6cm

Bài 6: Trên tia Ox, lấy hai điểm A và B sao cho , . 

1. a) Tính AB.
2. b) Vẽ tia Oy là tia đối của tia Ox, trên tia Oy lấy điểm C sao cho . Tính AC.
3. c) Điểm A có là trung điểm của BC không? Vì sao?

Đáp án:

1. a) Trên tia Ox có ( 2cm < 5cm)

 Nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B.

Suy ra: OA+AB=OB 

               2 +AB=5 

               AB=3cm 

1. b) Vì  A∈Ox ,  C∈Oy và Ox,  Oy là hai tia đối nhau nên điểm O nằm giữa hai điểm C và A.

Suy ra: CO+OA=CA 

1  +  2  =CA ⇒CA =3cm 

1. c) Điểm A là trung điểm của BC vì:

- Hai điểm O , C nằm cùng phía đối với điểm A. Điểm A lại nằm giữa hai điểm O và B nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

 và AC=AB ( = 3cm)

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho đoạn thẳng MN=8cmvà điểm O nằm giữa hai điểm Mvà N. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng MO, Flà trung điểm của đoạn thẳng ON .

1. a) Tính độ dài đoạn thẳng EF.
2. b) Cần thêm điều kiện gì để điểm O là trung điểm của đoạn thẳng EF? Tại sao?

Đáp án:

1. a) là trung điểm của OM, nênEO=MO2 (1)

F là trung điểm của ON, nên OF=ON2 (2)

Hai điểm E và thuộc hai tia đối nhau là OM và ON, nên điểm nằm giữa hai điểm E và .

  ta có: (3)

  Thay (1), (2)  vào (3) ta có : EF=MO2+ON2=MO+ON2

  Vậy. EF=MN2=82=4(cm)

1. b) Muốn cho Olà trung điểm của thì phải có thêm điểu kiện .

Từ (1) và (2) suy ra : OM2=ON2 

  hay OM=ON. 

  Tức là, phải là trung điểm của đoạn NM (không phải là điểm bất kì ).

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB=6 cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C. Biết E là trung điểm của đoạn thẳng CA, F là trung điểm của đoạn thẳng CB.

1. a) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn CB lớn hơn độ dài đoạn CA.
2. b) Tìm độ dài đoạn EF.

Đáp án:

1. a) Điểm C thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa hai điểm B, C

Suy ra BC=BA+AC

Mà BA,AC,BC>0

Suy ra độ dài đoạn CB lớn hơn độ dài đoạn CA.

1. b) Vì F là trung điểm của đoạn CB, nên : CF=CB2 1

Vì E là trung điểm của đoạn CA, nên : CE=CA2                         2

Mà CA<CB ( câu a), nên CE<CF, chứng tỏ điểm E nằm giữa hai điểm C, F

Suy ra : CF=CE+EF

3

Thay 1 và 2 vào 3, ta có : EF=CB2-CA2=CB-CA2=AB2=62=3 (cm).

Vậy EF=3 (cm).

Bài 3: Vẽ tia Ax. Trên tia Ax xác định hai điểm B và C sao cho B nằm giữa A, C và AC=8 cm, AB=3BC. Tính độ dài các đoạnAB, BC.

Đáp án:

Vì điểm B nằm giữa hai điểm A, C  nên AB+BC=AC

Mà AB=3BC, AC=8 cm

Suy ra: 3BC+BC= 8 

⇒4BC= 8  

⇒BC=2 (cm)

Do đó: AB=2.3=6 (cm).

Vậy AB=6 (cm), BC=2 (cm).

Bài 4: Trên tia Ox lấy các điểm A và B sao cho OA=2 cm, OB=8 cm. Gọi  I là trung điểm của đoạn thẳng OA, K là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, IK.

Đáp án:

Trên tia Ox, ta có 2<8nên  điểm A nằm giữa hai điểm O và B. 

Do đó: OA+AB=OB

⇒2+AB=8

⇒AB=8-2=6 (cm)

Vì  I là trung điểm của đoạn thẳng OA

Nên OI=IA=OA2=22=1 (cm) 

Vì K là trung điểm của đoạn thẳng AB

Nên AK=KB=AB2=62=3 (cm) 

Mà điểmA nằm giữa hai điểm O và B, điểm  I nằm giữa hai điểm O và A, K nằm giữa hai điểm A và B nên suy ra A nằm giữa hai điểm  I và K.

Suy ra: AI+AK=IK

⇒IK=1+3=4 (cm).

VậyAB=6 (cm), IK=4 (cm).

Bài 5: Cho ba điểm A, O, B sao cho OA=2 cm, OB=3 cm và AB=5 cm. Lấy điểm M nằm trên đường thẳng AB sao cho OM=1 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AM?

Đáp án:

Vì OA+OB=AB do 2+3=5 nên điểm O nằm giữa hai điểm A và B.

⇒Onằm trên đường thẳng AB và hai tia OA, OB đối nhau.

+) Trường hợp 1: M nằm trên tia OB

Ta có: OM và OA là hai tia đối nhau nên Onằm giữa A và M

Khi đó: AM=AO+OM=2+1=3 (cm)

+) Trường hợp 2: M nằm trên tia OA

Trên tia OA, ta có OM<OA (do 1<2) nên điểm Mnằm giữa hai điểm O và A

Khi đó: OM+MA=OA

⇒AM=OA-OM=2-1=1 (cm)

Vậy AM=3 (cm),AM=1 (cm) .

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB biết AB=10 cm. Lấy 2 điểm C, Dtrên đoạn AB (C, D không trùng với A, B) sao choAD+BC=13 cm.

1. Chứng minh rằng: ĐiểmC nằm giữa hai điểm A và D.
2. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Đáp án:

1) Vì điểm Cnằm trên đọanAB nên điểm C nằm giữa hai điểm A, B 

Suy ra AC+CB=AB 

⇒AC+CB=10    

⇒AC=10-CB  1

Theo bài ra ta có: AD+BC=13

⇒AD=13-BC        2

Từ 1và 2 suy ra AC<AD.

Trên tia AB có AC<AD nên điểm C nằm giữa hai điểm A và D.

2) Vì điểm C nằm giữa A và Dnên AC+CD=AD

Ta có:

AD+BC=13

⇒AC+CD+BC=13

⇒(AC+BC)+CD=13

⇒AB+CD=13

⇒CD=13-AB

⇒CD=13-10=3 (cm)

Vậy CD=3 (cm)

Bài 2: Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA=7 cm, OD=3 cm, BC=8 cm và AC=3BD.

1. a) Tính độ dài AC.
2. b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD.

Đáp án:

1. a) Đặt BD=x (cm) ⇒AC=3x (cm)

Trên tia Ox có OD<OA ( vì 3<7) Nên  điểm D nằm giữa hai điểm O và A 

Suy ra: OD+DA=OA

⇒DA=OA-OD=7-3=4 (cm)

Vì điểm B nằm giữa hai điểm D và C, điểm A nằm giữa hai điểm B và C 

Nên điểm B nằm giữa hai điểm D và A.

Suy ra DB+BA=DA 

⇒DB+BA=4

  x+BA=4 1

Vì A nằm giữa B và C nên: BA+AC=BC hay 3x+BA=8 2

Từ 1 và 2 ta có: (3x+BA)-(x+BA)=8-4

⇒2x=4⇒x=2

⇒AC=3.2=6 (cm)

Vậy AC=6 (cm)

2. b) Theo 1ta có: x+BA=4 mà x=2⇒BA=2.

Mà BD=x=2⇒BD=BA.

Mặt khác điểm B nằm giữa 2 điểm D và A.

Suy ra Blà trung điểm của đoạn thẳng AD.

Bài 3: Trên tia Ox lấy hai điểm M và N, sao cho OM=3 cm và ON=7 cm.

1. a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
2. b) Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP=2 Tính độ dài đoạn thẳng OP.
3. c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Đáp án:

1. a) Trên  tia Ox,  ta có: OM<ON (3<7)  nên M nằm giữa hai điểm O và N

⇒OM+MN=ON

⇒3+MN=7

⇒MN=7-3=4 (cm)

Vậy MN=4 (cm).

b)TH1: P nằm giữa M và N.

Vì P nằm giữa M và N mà   M nằm giữa hai điểm O và N

Nên  M nằm giữa O và P

⇒OP=OM+MP

⇒OP=3+2=5 (cm)

TH2: P nằm giữa O và M.

Vì P nằm giữa O và M

Nên OM=OP+PM

⇒3=OP+2

⇒OP=1 (cm).

c)Vì  M nằm giữa O và Pnên MO+MP=OP

⇒OP=3+2=5 (cm)

Trên tia Ox, ta có OP<ON (5<7) nên P nằm giữa O và N

⇒OP+PN=ON

⇒5+PN=7

⇒PN=2 (cm).

Do đó: 1

Trên tia Ox, ta có: OM<OP<ON 3<5<7 nên P nằm giữa M và N 2

Từ 1 và 2 suy ra P là trung điểm của MN

Bài 4: Cho các điểm A, B, Cnằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm M, Nlần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC. Chứng tỏ rằng: BC=2MN. Bài toán có mấy trường hợp, hãy chứng tỏ từng trường hợp đó?

Đáp án:

- Trường hợp 1: Hai điểm B, C ở cùng phía với A, tức là hai tia AB, AC trùng nhau.

* Trường hợp này có thể chia làm hai trường hợp nhỏ là : AB>AC,AC>AB (hai trường hợp chứng minh tương tự).

Giả sử: AC>AB.

Vì N là trung điểm của AC, nên: AN=NC=AC2                    1

Vì Mlà trung điểm của AB, nên: AM=MB=AB2 2

Từ 1và 2 ta có :

                                                                                                         3

Ta xét AC>AB, nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

Suy ra: AC=AB+BC=>BC=AC-AB   4

AB<AC=>AM<AN nên điểm Mnằm giữa hai điểm A và N.

Suy ra: 5

Thay 4 và 5vào 3, ta có: MN=BC2 hay BC=2MN

* Trường hợp 2: Hai tia ABvà AC đối nhau

Mà  điểm Mthuộc tia AB, điểm N thuộc tia AC

Nên AMvà AN là hai tia đối nhau

M là trung điểm của AB, nên: AM=MB=AB2 6

N là trung điểm của AC, nên: AN=NC=AC2 7

Từ 6và 7có:

AM+AN=AB+AC2 8

Vì AB, AC là hai tia đối nhau, nên điểmA nằm giữa hai điểm B, C.

Suy ra: BC=BA+AC               9

Vì Mvà Nthuộc hai tia đối nhauAB, AC nên điểm A nằm giữa hai điểm M, N 

Suy ra:  MN=AM+AN 10

Thay 9và 10vào 8, ta có : MN=BC2 hay BC=2MN.

Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài bằng a được chia thành ba đoạn thẳng bởi hai điểm chia P, Q theo thứ tự là đoạn AP, PQ, QB sao cho AP=2PQ=2QB. Tìm khoảng cách giữa:

1. a) Điểm A và điểm I với  I là trung điểm của QB.
2. b) Điểm E và điểm I với  E là trung điểm của đoạn AP .

Đáp án:

1. a) Đoạn AB được chia thành ba đoạn theo thứ tự AP, PQ, QB nên suy ra

AB=AP+PQ+QB.

Mà AP=2PQ=2QB                        1

Suy ra: PQ=QB 2

Vậy AB=2QB+BQ+QB=4QB 3

Vì I là trung điểm của QB, nên : QI=IB=QB2 4

I là trung điểm của QB, mà Q nằm giữa hai điểm A, B nên Icũng nằm giữa hai điểm A, B.

Suy ra:  AB=AI+IB                                                                                                              5

Từ 3  ta có:

AB=4QB⇒QB=AB4QB2=AB8⇒IB=QI=QB2=AB8                                                              6

Thay 6 vào 5 có:

AB=AI+AB8

⇒AI=AB-AB8=8AB-AB8

⇒AI=7AB8=7a8 (cm)

1. b) Theo  3 ta có: AB=4QB.

Theo 1  ta có: 2QB=AP.

Vậy ta suy ra: AB=2AP⇒AP=AB2

Mà E là trung điểm của AP, nên  EP=AP2=AB4. 7

mà PQ=QB, 

Vậy : PQ=QB=AB4. 8

Theo đầu bài, đoạn AB được chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP, PQ, QB 

Suy ra EI=EP+PQ+QI                         9

Thay 6, 7, 8vào 9có: EI=AB4+AB4+AB8

⇒EI=5AB8⇒EI=5a8 (cm).

Bài 6: Trên tia Ox vẽ các điểm A, B, C sao cho OA=12cm, OB=19cm, OC=26cm. Điểm Bcó là trung điểm của đoạn thẳng AC hay không? Vì sao?

Đáp án:

Trên tia Ox ta có OA<OB (12<19) nên A nằm giữa hai điểm O và B  

Suy ra: OA+AB=OB

⇒AB=OB-OA=19-12=7 (cm) 1

Trên tia Ox ta có OB<OC (19<26) nên  điểm B nằm giữa hai điểm  O vàC

Suy ra: OB+BC=OC

⇒BC=OC-OB=26-19=7 (cm)    2

Từ 1 và 2 suy ra AB=BC.                                                                                                   3                                                   

Mặt khác Trên tia Ox ta có OA<OB<OC 12<19<26 

suy ra điểm  B nằm giữa hai điểm  A và C.            4

Từ 3và 4⇒Blà trung điểm của đoạn thẳng AC.

Bài 7: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc đoạn thẳng  MB thì CM=CA-CB2.

Đáp án:

Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và C nên: CA = MA + CM  1

Vì điểm C nằm giữa hai điểm M và B nên: CM+CB=MB=>CB = MB - CM    2

Vì Mlà trung điểm của AB nên 3

Từ 1, 2 và 3ta được: CA-CB=2CM

Suy ra:  CM=CA-CB2

Bài 8: Trên tia Ox xác định các điểm A vàB sao cho OA=a (cm), OB=b (cm).

1. a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b<a.
2. b) Xác định điểmMtrên tia Ox sao cho OM=12(a+b).

Đáp án:

1. a) Trên tia Ox, ta có:  OB<OA do b<a nên  điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. 

Suy ra:  OB+AB=OA

Suy ra: AB=OA-OB=a-b.

1. b) Vì M nằm trên tia Ox và  OM=12(a+b)=a+b2=2b+a-b2=b+a-b2=OB+OA-OB2=OB+12AB

⇒M là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM=BM.

Bài 9: 1. Trên tia Oy, lấy điểm M và H sao cho OM=5cm, OH=10cm. Tính độ dài đoạn thẳng HM. Điểm M có là trung điểm của đoạn thẳng OH không? Vì sao?

2. Cho đoạn thẳng AB. Điểm Cthuộc tia đối  của tia BA. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng: CM=CA+CB2 và MN=BC2.

Đáp án:

1) Chứng minh được Mnằm giữa O và H.   

Ta có OM+MH=OH ⇒MH=10-5=5cm

Điểm M có là trung điểm của đoạn thẳng OH vì : M nằm giữa O và H và MH=MO(=5cm)

2) Chứng minh rằng: CM=CA+CB2 và MN=BC2. 

Vì M là trung điểm của AB, điểm C thuộc tia đối  của tia BA nên M nằm giữa A và C.    

Suy ra: CA=CM+AM

1

Lại có B nằm giữa M và C

2

Từ 1 và 2 ⇒2CM=AC-AM+BC+MB=AC+BCdoAM=MB

Vậy CM=CA+CB2

Lại có N là trung điểm của AC⇒CN=AC2

Có AB<AC, M, N theo thứ tự là trung điiểm của AB và AC⇒AM<AN

⇒M nằm giữa A và N⇒AN=AM+MN

⇒MN=AN-AM=AC-AB2=BC2

Bài 10: Trên tia Ox lấy hai điểm A, B sao cho OA=3 cm, OB=5 cm.

1. a) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
2. b) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm C sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng AC. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA sao cho OM=12OA. Hỏi M có là trung điểm của đoạn thẳng BC không? Vì sao? 

Đáp án:

1. a) Trên tia Ox có OA<OB, (3<5) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và O. 

Suy ra OA+AB=OB

⇒AB=OB-OA

⇒AB=5-3=2 (cm)

Vậy AB=2 (cm) .

1. b) Vì điểm O là trung điểm của đoạn thẳngAC nên OC=OA=3 (cm).

Vì điểm M thuộc đoạn thẳng OA và OM=12OA 

Nên điểm M là trung điểm của đoạn thẳng OA.

 Suy ra OM=MA=3:2=1,5 (cm).

Vì hai điểm C, Mnằm trên hai tia đối nhau gốc O nên điểm O nằm giữa hai điểm C, M.

Suy ra: CO+OM=CM

⇒3+1,5=CM

⇒CM=4,5 (cm)

Trên tia Ox có OM<OB(1,5<5) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và B. 

Suy ra:OM+MB=OB

⇒MB=OB-OM

⇒MB=5-1,5=3,5 (cm).

Ta thấy MB≠MC(3,5≠4,5) nên điểm M không là trung điểm của đoạn thẳng BC.