Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

BÀI 11.TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Bài 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ   vàHãy tìm số đo các góc giữa  và  và

Đáp án:

+ Số đo góc giữa hai vectơ  và là số đo góc CBD và bằng .

+ Số đo góc giữa hai vectơ  và là số đo góc ADB và bằng .

Bài 2: Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 0^o , bằng 180^o?

Đáp án:

Góc giữa hai vectơ bằng  khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng  khi hai vectơ ngược hướng.

Bài 3: Cho tam giác đều ABC. Tính

Đáp án:

Vẽ , khi đó ADBC là hình bình hành

Do AD//BC nên ta có:

Vậy

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ  là một số dương? Là một số âm?

Đáp án: 

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không  là một số dương khi góc giữa hai vectơ  là góc lớn hơn  và nhỏ hơn .

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không  là một số âm khi góc giữa hai vectơ  là góc lớn hơn  và nhỏ hơn .

Bài 2: Khi nào thì 

Đáp án:

Nên  thì , hay là  cùng phương.

Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính   theo a, b,c.

Đáp án: 

Theo định lí cô sin, ta có:

Từ đó:

3.BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Bài 1 : Cho hai vectơ cùng phương  =(x;y) và =(kx;ky). Hãy kiểm tra công thức  =k(x² + y²) theo từng trường hợp sau:

1. =
2. ≠ và k ≥0
3. ≠ và k <0.

Đáp án:

1. a) =nên

=

Lại có:

Vậy .

1. b) Vì nên hai vectơ cùng hướng.

Ta có:

.

Vậy .

1. c) Vì nên hai vectơ ngược hướng.

Ta có:

.

Vậy .

Bài 2 : Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ không cùng phương =(x;y) và =(x′;y′).

1. Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho 
2. Tính AB², OA², OB²theo tọa độ của A và B.
3. Tính theo tọa độ của A, B.

Đáp án:

1. a) Tọa độ các điểm là A(x; y) và B(x'; y')
2. b)

1. c) Ta có:

Bài 3 : Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

Đáp án:

.

Bài 4 : Cho ba vectơ ₁; y₁) , ₂; y₂), ₃; y₃)

1. Tính theo tọa độ của các vectơ
2. So sánh 
3. So sánh  và

Đáp án:

a.

 =

 = .

 = = .

1. = .
2. =

=.

Suy ra:  =

Bài 5 : Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

1. Chứng minh rằng 
2. Tìm tọa độ của H.
3. Giải tam giác ABC.

Đáp án:

1. a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên

Suy ra:

1. b) Gọi tọa độ điểm H(x; y)

Ta có:  nên:

Vậy H(6; 2)

1. c)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

Tương tự áp dụng định lí cô sin ta có:

Bài 6 : Một lực  không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực  được phân tích thành hai lực thành phần là   và . ( + .).

1. Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực và (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực  và .
2. Giả sử các lực thành phần và . tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực và lực  

Đáp án:

1. a) Công sinh bởi lực bằng: (1)

Công sinh bởi lực  bằng  (2)

Công sinh bởi lực bằng:

 (3)

Từ (1), (2), (3) và theo tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng suy ra công sinh bởi lực bằng tổng của các công sinh bởi lực  và .

1. b) Vì có phương vuông góc với phương chuyển động nên công sinh bởi lực bằng . Từ đó và kết quả phần a), suy ra công sinh bởi lực  bằng:

Do đó công sinh bởi lực  bằng công sinh bởi lực

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.21 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ  trong mỗi trường hợp sau:

1. = (−3;1), =(2;6)
2. =(3;1), =(2;4)
3. =(;1), =(2;).

Đáp án:

1. a) Ta có . Suy ra
2. b) Từ giả thiết suy ra và

Suy ra  và do đó

1. c) Từ giả thiết suy ra và .

Suy ra  và do đó .

Bài 4.22: Tìm điều kiện của  ,  để:

Đáp án:

1. a) tức là hai vectơ và  cùng hướng.
2. b) tức là hai vectơ và ngược hướng.

Bài 4.23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(-4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

1. Tính  theo t.
2. Tìm t để 

Đáp án:

1. = (t−1;−2) và  = (t+4;−3)

=(t−1).(t+4)+2.3=(t−1).(t+4)+6 = t² +3t + 2

1. => đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BM.

=> 

Hay là: t² +3t + 2 = 0

ó         t = −2 và  t = −1. 

Bài 4.24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2).

1. Giải tam giác ABC.
2. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Đáp án:

1. a) Từ giả thiết suy ra

Suy ra .

.

Do đó:  53⁰7’48’’ ,  : 63⁰26’6’’

1. b) Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó, do nên

Ta có:  và . Từ đó và (I) ta có hệ phương trình. Giải hệ thu được

Bài 4.25: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

Đáp án:

Do  nên

Suy ra

Bài 4.26: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: .

Đáp án:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

Xét

=

=

=

(vì G là trọng tâm tam giác ABC nên )

Suy ra: .