Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 10: Vecto trong mặt phẳng tọa độ

BÀI 10. VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

Bài 1: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diến số 1 và đặt .  (H4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số Hãy biểu thị mỗi vectơ   và theo vecto .

Đáp án:

Do A biểu diễn số 1, M biểu diễn số 4, nên hai vectơ  và  có cùng phương, cùng hướng và .

Suy ra .

Cũng vậy, do A biểu diễn số 1, N biểu diễn số nên hai vectơ  và có cùng phương, ngược hướng và .

Suy ra .

Bài 2: Trong Hình 4.33:

1. Hãy biểu thị mỗi vectơ theo các vectơ
2. Hãy biểu thị vectơ theo các vectơtừ đó biểu thị vectơ theo các vectơ

Đáp án:

1. a) .
2. b) Vì nên

.

Bài 3: Tìm tọa độ của 

Đáp án:

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho   = (2; -3),  = (4;1), = (8;-12).

1. Hãy biểu thị mỗi vectơ , , . theo các vectơ
2. Tìm tọa độ của các vectơ +  ,
3. Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ ,

Đáp án: 

1. a) .
2. b) Vì

nên .

Vì  nên .

Suy ra .

1. c) Vì và

 nên .

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x_o; y_o). Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy.

1. Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo x_o.
2. Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của  theo y_o.
3. Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của theo x_o; y_o.
4. Biểu thị theo các vectơ .

Đáp án:

1. a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số x_o:

.

1. b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số y_o:

.

1. c) Hình chữ nhật OPMQ có độ dài hai cạnh OP = |x_o| và OQ = |y_o|, suy ra độ dài đường chéo

.

1. d) Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta được .

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x'; y').

1. Tìm tọa độ của các vectơ

b.Biểu thị vectơ  theo các vectơ và tìm tọa độ của 

1. Tìm độ dài của vectơ

Đáp án: 

1. a) Theo HĐ4:

, .

1. b) Ta có:

Suy ra .

1. c) Theo nhận xét:

.

Bài 4 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1). B(3; 3).

1. Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?
2. Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình bình hành.

Đáp án:

1. a) Hai vectơ và không cùng phương (vì ). Do đó các điểm A, B, O không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
2. b) OABM là một hình bình hành khi và chỉ khi

Ta có:  và

.

Vậy điểm cần tìm là M(1; 2).

Bài 5 : Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Đáp án:

Trong 12 giờ, tâm bão chuyển động thẳng đều từ điểm A(13,8; 108,3) đến điểm B(14,1; 106,3). Suy ra .

Gọi M(x; y) là điểm ứng với vị trí tâm bão tại thời điểm 9 giờ. Khi đó  và  hay .

Từ đó ta có hệ phương trình

Giải hệ ta được x = 14,025 và y = 106,8.

Vậy M ( 14,025; 106,8)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2).

1. Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.
2. Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Đáp án:

1. a) .
2. b) Do nên tam giác OMN vuông tại M. Do OM = MN nên tam giác OMN vuông cân tại M.

Bài 4.17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ  =3 =(4;−1) và các điểm M(-3; 6), N(3; -3).

1. Tìm mối liên hệ giữa các vectơ
2. Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?
3. Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Đáp án:

1. a) Do nên .

.

Vì M(-3; 6), N(3; -3) nên . Vì  nên .

1. b) Từ giả thiết, suy ra và . Do nên hai vectơ và không cùng phương. Do đó O, M, N không thẳng hàng.
2. c) Giả sử tìm được điểm P sao cho OMNP là một hình bình hành. Khi đó Suy ra điểm P(6; -9) là điểm cần tìm.

Bài 4.18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

1. Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.
2. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
3. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
4. Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Đáp án:

Từ giả thiết suy ra  và

1. a) Vì nên các vectơ và không cùng phương. Suy ra A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
2. b) Gọi M(x; y) là trung điểm AB. Khi đó:

. Vậy .

1. c) Gọi G(x; y) là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

. Vậy .

1. d) Điểm O(0; 0) là trọng tâm tam giác ABD, nên:

Vậy điểm cần tìm D(-3; -7).

Bài 4.19: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí A(1;2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ =(3;4). Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Đáp án:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta biểu diễn  bởi vectơ . Gọi B(x; y) là điểm biểu diễn vị trí của tàu tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Khi đó do  nên

Vậy sau 1,5 giờ tàu đến vị trí điểm B(5,5; 8).

Bài 4.20 : Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ (1;2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Đáp án:

- Quân mã đi theo hình chữ L: hoặc tiến 1 ô rồi sang trái (hoặc phải) 2 ô, hoặc tiến 2 ô rồi sang trái (hoặc phải 1 ô).

- Quân mã không bị cản bởi bất cứ quân nào trên đường đi; chỉ bị cản khi ô đích đến là quân cờ cùng màu.

Vậy quân mã ở ô (1; 2) trên bàn cờ được phép di chuyển tới những ô (0; 0), (2;0), (3; 1), (3; 3), (2; 4) và (0; 4).