Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác (P1)

BÀI 6.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN

Bài 1: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

1. Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).
2. Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).
3. Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hương đông nam) thì có thể dụng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Đáp án:

1. Hình vẽ thể hiển sơ đồ đường đi của tàu, tàu xuất phát từ cảng Vân Phong (điểm A), đi theo hướng từ A đến B, sau đó từ B chuyển hướng đi C (hướng đông nam). Thời gian đi từ B đến C là 0,5 giờ.
2. Khoảng cách từ C đến A khoảng 28 cm, thì thực tế tàu cách cảng Vân Phong 28 km
3. Có thể dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) vì nếu tàu chuyển hướng sang nam thì góc ABC là góc vuông, ta có thể áp dụng định lí Pythagore (Pi-ta-go).

Bài 2: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.

1. Tính a²theo BD²và CD² .
2. Tính a² theo b, c và DA.
3. Tính DA theo c và cos A.
4. Chứng minh a²= b² + c² -2b.c.cos A.

Đáp án:

1. a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông BDC:
2. b)
3. c) =c.(-cosA)=-c.cosA
4. d) Theo b ta có: (1), thay DA = - c. cosA vào (1) được:

.

Bài 3: Định lí Pythagore có phải là môt trường hợp đặc biết của Định lí Cosin hay không?

Đáp án:

Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí Côsin, khi góc A = 90^o.

Bài 4: Từ Định lí cosin,hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.                            

Đáp án:

Bài 5 : Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và  .Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Đáp án: 

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có:

Suy ra BC = .

,

Suy ra .

Suy ra .

Bài 6 : Dùng định lí cosin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.

Đáp án: 

Do tàu đi theo hướng đông đến B rồi chuyển hướng đông nam đến C nên góc .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có:

2. ĐỊNH LÍ SIN

Bài 1: Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.

Đáp án: 

1. a) Xét tam giác BMC vuông tại C có:

 (do )

1. b) Xét tam giác BMC vuông tại C có:

(do sin A = sin M vì ).

Bài 2: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và  .Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cách cạnh còn lại của tam giác.

Đáp án:

Theo định lí sin, ta có:

.

Suy ra .

Do , nên .

Theo định lí sin, ta có: .

Suy ra a = sin A. 2R .

3.GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Bài 1 : Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45, 

Đáp án:

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:  a² = b² + c² -2.b.c.cos A = 322+452−2.32.45.cos87⁰⇒a≈54

Áp dụng định lí sin, ta có: 54sin87⁰=32sinB=45sinC=2R

B≈36⁰,C≈57⁰

Bài 2: Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Đáp án:

Bước 1: Từ một vị trí ở vùng quan sát, ngắm hai đỉnh núi và đo góc giữa hai hướng ngắm đó.

Bước 2: Tương tự Ví dụ 4, tính khoảng cách từ vị trí vừa ngắm tới các đỉnh núi.

Bước 3: Dùng định lí côsin để tính toán.

4.CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

1. Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.
2. Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

Đáp án:

1. a) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích 3 tam giác IBC, ICA, IAB.
2. b) Diện tích tam giác ABC:

Bài 2 : Cho tam giác ABC với đường cao BD.

1. Biểu thị BD theo AB và sin A.
2. Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.

Đáp án:

1. a) BD = AB.sin A
2. b)

Bài 3 : Tính diện tích của tam giác ABC có b = 2, 

Đáp án:

+) Áp dụng định lí sin, ta có:

+)

+) Diện tích tam giác ABC:

.

Bài 4 : Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?

Đáp án:

sin A có thể tính theo độ dài của các cạnh tam giác ABC.

Theo định lí côsin, ta có:

Mà

+ Tính diện tích S theo các cạnh của tam giác ABC

Bài 5 : Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hòa Bình.

Đáp án:

Áp dụng công thức Heron, ta được:

Suy ra diện tích công viên Hòa Bình bằng:

 (m²).