Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc 0o đến 180o

BÀI 5.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0^O  ĐẾN 180^O

1.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

Bài 1: a. Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

• α =
• α<
• α>

1. Khi <α<, nêu mối quan hệ giữa cos α, sin αvới hoành độ và tung độ của điểm M.

Đáp án:

1. a)

: M trùng với điểm C.

: M nằm trên cung AC (không trùng điểm C và A).

: M nằm trên cung CB (không trùng C và B).

1. b) bằng hoành độ của của điểm M.

bằng tung độ của của điểm M.

Bài 2: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120⁰

Đáp án:

M là điểm nằm trên nửa đường tròn sao cho . Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì  nên .

Xét tam giác MOP vuông tại P có:

.

.

Điểm M nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là .

Theo định nghĩa có:

;

;

2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

Bài 1: Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó, nêu các mối quan hệ giữa sin α và sin(−α), giữa cos α và cos(−α),

Đáp án: 

Hai điểm M và M' đối xứng với nhau qua trục Oy.

.

Bài 2: Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau α và −α. Chứng minh rằng ΔMOP=ΔNOQ. Từ đó nêu mối quan hệ giữa cosα và sin(−α).

Đáp án:

Xét  và  có:

OM = ON

.

Bài 3: Một chiếc đu quay có bán kính 75m, tâm của vòng quay ở độ cao 90m, thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu môt người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Đáp án: 

Do mỗi vòng quay, đu quay mất 30 phút nên sau 20 phút, đu quay quay được  vòng.

Từ đó .

Do đó M có tung độ bằng .

Mặt khác, 1 đơn vị trong mặt phẳng tọa độ Oxy ứng với 75 m trong thực tế, nên độ dài đoạn thẳng OQ ứng với =37,5 m trong thực tế.

Vậy sau 20 phút quay, đu quay ở độ cao là: 37,5 + 90 = 127, 5 (m).

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 3.1: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

1. (2sin30^o+ cos135^o– 3tan150^o).(cos180^o– cot60^o)
2. sin²+cos²+cos² −tan² + cot²
3. cos60^o.sin30^o+ cos²30^o

Đáp án:

1. a)

=

 ;
b)

=

= .
c)

=

=

Bài 3.2: Đơn giản các biểu thức sau:

1. sin100^o+sin80^o + cos16^o + cos164^o
2. 2sin(180⁰−α).cotα– cos(180⁰−α)tanα.cot(180⁰−α) , với 0^o < α < 180^o

Đáp án:

1. a)

=

 ;

1. b) , với

Bài 3.3: Chứng minh các hệ thức sau:

1. sin2α+cos2α=1
2. 1+tan2α=1cos2α(α≠90⁰)
3. 1+cot2α=1sin2α(0⁰<α<180⁰)

Đáp án:

1. a) Lấy điểm trên nửa đường tròn đơn vị, sao cho . Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của  trên .

Khi đó . Suy ra

Hơn nữa, tứ giác ONMP là hình chữ nhật có đường chéo .

Theo định lí Pythagore ta được  và do đó .

1. b) Vì nên .
2. c) Vì nên .

Bài 3.4: Cho góc α,(0o<α<180o) thỏa mãn tanα = 3.

Tính giá trị của biểu thức P=2sinα−3cosα3sinα+2cosα

Đáp án:

Do góc  có  được .