Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 7: Các khái niệm mở đầu

BÀI 7.CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1. KHÁI NIỆM VECTƠ

Bài 1: Một con tàu khởi hành từ đảo A, đi thẳng về hướng đông 10 km rồi đi thẳng tiếp 10 km về hướng nam thì tới đảo B. Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải theo hướng nào và quãng đường phải đi dài bao nhiêu kilomet?

Đáp án:

Gọi điểm mà tàu rẽ là C, khi đó:

AC = CB = 10 km.

Suy ra tam giác ACB vuông cân tại C.

Từ đó, và

AB = km.

Vậy khi tàu chạy thẳng từ A tới B (không đổi hướng), thì tàu phải đi theo hướng và phải đi 14,14 km.

Bài 2: Cho tam giác đều ABC với cạnh có độ dài bằng a. Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC.

Đáp án:

Các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC là:

.

2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU

Bài 1: Quan sát các làn đường trong Hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng:

1. Các làn đường song song với nhau.
2. Các xe chạy theo cùng một hướng.
3. Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.

Đáp án: 

Nhận xét đúng: a, c.

Bài 2: Xét các vectơ cùng phương trong Hình 4.7. Hai vecto  và  được gọi là cùng hướng, còn hai vectơ  và  được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với vectơ và các vectơ ngược hướng với vecto .

Đáp án:

Vectơ cùng hướng với vectơ :

Vectơ ngược hướng với vectơ : .

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD, AB < CD. Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ và  ; và  và . Có cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau không?

Đáp án: 

+) và : độ dài bằng nhau, không cùng phương, không cùng hướng.

+) và : độ dài khác nhau, AB < CD, cùng phương, ngược hướng.

+) và : độ dài bằng nhau, không cùng phương, không cùng hướng.

Không cặp nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau.

Bài 4 : Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B.

1. và : ngược hướng.
2. và : cùng phương.
3. và : cùng hướng.
4. và : ngược hướng.

Đáp án:

Đáp án: d.

Bài 5 : Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15 km/h. Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h.

1. Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế của các ca nô A, B.
2. Trong các vectơ những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng?

Đáp án:

1. a) Độ lớn của vectơ vận tốc tương ứng là 3, 18, 12 (km/h). Do đó tỉ lệ độ dài giữa chúng là: .
2. b) Do ca nô A chạy xuôi dòng nước nên các vectơ vận tốc và cùng phương và ngược hướng.

Vậy trong các vectơ  có các cặp vectơ cùng phương là:

 và ,  và , và ;

Các cặp vectơ ngược hướng là:

 và , và .

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.1: Cho ba vectơ  ,  đều khác  . Những khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án:

Câu đúng : a, b, c

Bài 4.2: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vecto cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

Đáp án:

- Các cặp vectơ cùng phương:  và  và  và .

- Các cặp vectơ ngược hướng:  và  và .

- Cặp vectơ bằng nhau:  và .

Bài 4.3:  Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi  .

Đáp án:

Giả sử tứ giác  là một hình bình hành.

Khi đó  và . Suy ra hai vectơ  và  có cùng độ dài và cùng hướng. Do đó .

Ngược lại, giả sử tứ giác  có .

Khi đó  và hai đường thẳng  song song hoặc trùng nhau. Nếu hai đường thẳng  trùng nhau thì bốn điểm  cùng nằm trên một đường thẳng. Điều này không xảy ra vì ABCD là một hình tứ giác.

Vậy BC //AD (2)

 Từ (1) và (2) suy ra tứ giác  là một hình bình hành.

Bài 4.4: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập hợp S gồm tất cả các vecto khác   có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Đáp án:

Các nhóm gồm các vectơ bằng nhau:

Bài 4.5: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy vẽ các vectơ  với A(1;2),  M(0;-1), N(3;5).

1. Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.
2. Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ = . Hỏi vật thể đó có qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N?

Đáp án:

1. a) Dựng các điểm và . Khi đó .Suy ra hai tam giác và  là các tam giác vuông đồng dạng .

Do đó .

Suy ra  và .

Như vậy, vectơ  cùng hướng với vectơ  và có độ dài gấp ba lần độ dài của vectơ .

1. b) Vì cùng hướng với nên vật đó sẽ đi qua . Hơn nữa, sau mỗi giờ vật đó đi được quãng đường bằng  và nên sau 3 giờ vật đó sẽ tới .