Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vecto với một số

BÀI 9.TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

Bài 1: Cho vectơ  .Hãy xác định điểm C sao cho 

1. Tìm mối quan hệ giữa 
2. Vectơ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vectơ ?

Đáp án:

1. a) Theo quy tắc ba điểm,

Do đó hai vectơ  và bằng nhau.

Vectơ  cùng hướng với vectơ , có độ dài gấp hai lần độ dài của vectơ .

1. b) Vì và nên B là trung điểm của AC. Do đó vectơ  cùng hướng với vectơ  và độ dài của  gấp đôi độ dài của .

Bài 2: có bằng nhau hay không?

Đáp án:

Bài 3: Trên một trục số gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0; 1; Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ  với vectơ . Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vectơ  .

Đáp án:

+)  và  cùng hướng,  và  ngược hướng.

+)

+

Bài 4: có mối quan hệ gì?

Đáp án:

Bài 5 : Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

1. Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để 
2. Với điểm M bất kì, ta luôn có 
3. Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t≤0 để 

Đáp án: 

Khẳng định đúng: a, c.

2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ

Bài 1: Với  ≠   và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án: 

Mệnh đề đúng: a, b, c, d.

Bài 2: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ .Từ đó, nêu mối quan hệ giữa .

Đáp án:

, .

Do hai vectơ  cùng hướng và OC = 3OM nên .

Do đó  =

Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có: 

Đáp án: 

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

Vậy

Bài 4 : Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ   theo hai vectơ  tức là tìm các số x, y, z, t để ;

Đáp án:

;

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.11: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị  theo hai vectơ  .

Đáp án:

Do  là hình bình hành nên .

Do  là trung điểm của  nên  thẳng hàng theo thứ tự đó và .

Suy ra .

Từ đó, theo quy tắc ba điểm, ta được .

Bài 4.12 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng  

Đáp án:

Do  là trung điểm của  và  là trung điểm của CD, nên ta có:

 (1)

và . (2)

Ta có:

và .

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được

+) Tương tự, từ 

Ta có: .

Bài 4.13: Cho hai điểm phân biệt A và B.

1. Hãy xác định điểm K sao cho
2. Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có 

Đáp án:

1. a) Giả sử có điêm thoả mãn . Khi đó . Suy ra hai vectơ và  cùng phương, ngược hướng và . Suy ra điểm  thuộc đoạn  và .
2. b) Với điểm O bất kì, ta có:

 (1)

Và  (2)

Tù (1) và (2) suy ra

Tù đó

Bài 4.14 : Cho tam giác ABC

1. Hãy xác định điểm M để 
2. Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có 

Đáp án:

1. a) Giả sử có điểm thoả mãn .

Gọi  là trung điểm của . Khi đó .

Suy ra .

Từ đó đẳng thức (1) tương đương với .

Điều này xảy ra khi và chỉ khi  là trung điểm của .

1. b) Với mọi điểm

Suy ra .

Bài 4.15 : Chất điểm A chịu tác động của ba lực như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là .Tính độ lớn của các lực  biết  có độ lớn là 20N.

Đáp án:

Ta dùng các vectơ  để biểu diễn cho các lực  tác động vào chất điểm , vectơ  biểu diễn cho lực   là hợp lực của  và .

Do chất điểm  ở trạng thái cân bằng nên  và  là hai lực cân bằng.

Bởi vậy

và  Do đó  và .

Vậy  có độ lớn bằng  và  có độ lớn bằng .