Đáp án Toán 12 kết nối tri thức Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1: Nhận biết khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Cho hàm số  với , có đồ thị như Hình 1.15.

1. Giá trị lớn nhất  của hàm số trên đoạn  là bao nhiêu? Tìm  sao cho .
2. Giá trị nhỏ nhất  của hàm số trên đoạn  là bao nhiêu? Tìm  sao cho .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là . 

Tại thì .

1.  Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là . 

Tại thì .

Luyện tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

Hướng dẫn chi tiết:

1. Tập xác định của hàm số là .

Với , ta có: ; 

    (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn :

Từ bảng biến thiên, ta được: ;

1. Với , ta có:  với ;

;

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn .

2. CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

Hoạt động 2: Hình thành các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Xét hàm số  trên đoạn , với đồ thị như Hình 1.16.

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
2. Tính đạo hàm  và tìm các điểm  mà .
3. Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn  và tại các điểm  đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với , số lớn nhất trong các giá trị này với .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Dựa trên đồ thị, ta thấy:

• Hàm số có giá trị lớn nhất là ;
• Hàm số có giá trị nhỏ nhất là ;

1. Với , ta có: ;

Vậy tại các điểm hoặc thì .

1. Ta có:

; ;

; .

• Trong các số trên, số có giá trị nhỏ nhất là , số có giá trị lớn nhất là .

Ta thấy: ; .

Luyện tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1.  trên đoạn ;
2.  trên đoạn .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Ta có: ;

Với . Do đó hàm số đồng biến trên đoạn .

Ta có: ; .

1. Ta có: ;

Với :  (thỏa mãn)

Ta có: ; ;

Do đó ; .

Vận dụng: Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số , trong đó  là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và  là thời gian (tuần).

1. Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
2. Đạo hàm  biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Hướng dẫn chi tiết:

1. Với , ta có:

;

Ta có: ; ; .

Do đó số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó là 256 người.

1. Với , ta có:

; (thỏa mãn)

; ; .

Do đó virus sẽ lây lan nhanh nhất sau 4 tuần ().

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Hướng dẫn chi tiết bài 1.10:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

1. ;
2. trên ;
3. trên ;
4. .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Tập xác định: .

Ta có: ;  (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

1. Tập xác định: .

Với , ta có:

;

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy và hàm số không có giá trị lớn nhất.

1. Với , ta có:

;

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy và hàm số không có giá trị lớn nhất.

1. Tập xác định: .

Ta có: ;  (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy và .

Hướng dẫn chi tiết bài 1.11:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Tập xác định: .

Ta có: ;

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy và

1. Tập xác định: .

Ta có: ; 

(thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

1. Tập xác định: .

Ta có: ; 

(thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy và hàm sô không có giá trị lớn nhất.

1. Tập xác định: .

Ta có: ;

           (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy và .

Hướng dẫn chi tiết bài 1.12:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1.  trên đoạn ;
2.  trên đoạn ;
3.  trên đoạn ;
4.  trên đoạn .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Với , ta có:

; (thỏa mãn)

; ;

Vậy ; .

1. Với , ta có:

;

; ;

Vậy ; .

1. Với , ta có:

;

Mà và

; ;

;

Vậy ; .

1. Với , ta có:

;

; ;

Vậy ; .

Hướng dẫn chi tiết bài 1.13:

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn chi tiết:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là  (cm) và  

chiều rộng là  (cm).

Diện tích của hình chữ nhật là  (cm²)

Với , ta có: ;

(thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy .

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 36 cm².

Hướng dẫn chi tiết bài 1.14:

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm² như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Hướng dẫn chi tiết:

Diện tích bề mặt của hộp là (cm²) → (cm)

→ Thể tích  (cm³)

Với , ta có:

;  

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

(cm³) với  cm và  (cm)

Hướng dẫn chi tiết bài 1.15:

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm³. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm², trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm². Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Hướng dẫn chi tiết:

Gọi bán kính của hai đáy bình là  (cm), chiều cao của bình là  (cm) ).

Thể tích của bình là  (cm³) =>  (cm)

Gọi chi phí vật liệu sản xuất một chiếc bình là:

(nghìn đồng)

Với , ta có: ; 

(thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy

Do đó chi phí sản xuất một chiếc bình là nhỏ nhất khi chiếc bình có bán kính mặt đáy là cm và chiều cao là cm.