Đáp án Toán 12 kết nối Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Hoạt động 1: Quan sát đồ thị của hàm số y= x2 (H.1.2).

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Hướng dẫn chi tiết:

Tập xác định của hàm số là R.

1. Xét khoảng (0;+∞), ta thấy: với x1, x2 ∈(0; +∞), x1<x2 thì x12<x22. Suy ra hàm số trên đồng biến trên khoảng (0;+∞).
2. Xét khoảng (-∞;0), ta thấy: với x1, x2 ∈(-∞;0), x1<x2 thì x12>x22. Suy ra hàm số trên nghịch biến trên khoảng (-∞;0).

Luyện tập 1: Hình 1.5 là đồ thị của hàm số y=x3-3x2+2. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Hướng dẫn chi tiết:

Tập xác định của hàm số là R.

Từ đồ thị ta thấy:

• Trong khoảng (-∞;0) và (2;+∞), hàm số y=x3-3x2+2 đi lên từ trái sang phải => Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0) và (2;+∞).
• Trong khoảng (0;2), hàm số y=x3-3x2+2 đi xuống từ trái sang phải => Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).

Hoạt động 2: Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Xét hàm số y={-x nếu x<-1 1 nếu-1≤x≤1 x nếu x>1   có đồ thị như Hình 1.6:

1. Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng (-∞;-1), (1;+∞). Nêu nhận xét mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.
2. Có nhận xét gì về đạo hàm y’ và hàm số y trên khoảng (-1;1)?

Hướng dẫn chi tiết:

1. - Trên khoảng (-∞;-1), ta có đạo hàm của hàm số: y'=-x'=-1.

Trong khoảng này, ta thấy y'<0 và hàm số nghịch biến.

- Trên khoảng (1;+∞), ta có đạo hàm của hàm số: y'=x'=1.

Trong khoảng này, ta thấy y'>0 và hàm số đồng biến.

1. Trên khoảng (-1;1), ta có đạo hàm của hàm số: y'=x'=0.

Trong khoảng này, ta thấy y'=0 và hàm số không đổi.

Luyện tập 2: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y=-x2+2x+3

Hướng dẫn chi tiết:

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: y'=-2x+2; y'>0 với x∈(-∞;1); y'<0 với x∈(1;+∞).

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1), nghịch biến trên khoảng (1;+∞).

Hoạt động 3: Xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên

Cho hàm số y=fx=x3-3x2+2x+1

1. Tính đạo hàm f'x và tìm các điểm x mà f'x=0.
2. Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
3. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Hướng dẫn chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: f'x=3x2-6x+2

f'x=0↔3x2-6x+2=0↔[x=3+33 x=3-33 

Vậy f'x=0 ⬄ x=3+33 hoặc x=3-33.

b) Ta có bảng biến thiên như sau:

Luyện tập 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Hướng dẫn chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: y'=x2+6x+5; y'=0 ↔x=-1 hoặc x=-5.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-5) và (-1;+∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-5;-1).

b)  Tập xác định của hàm số là R\{2}.

Ta có: y'=-2x+5.x-2--x2+5x-7.1(x-2)2=-2x2+4x+5x-10+x2-5x+7(x-2)2=-x2+4x-3(x-2)2.

y'=0 ↔-x2+4x-3(x-2)2=0↔x=3 (thỏa mãn) hoặc x=1 (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;2) và (2;3).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞).

Vận dụng 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc vt là đạo hàm của st. Hãy tìm vận tốc vt.

b) Xét dấu của hàm vt, từ đó suy ra câu trả lời.

Hướng dẫn chi tiết:

a) Ta có: vt=s't=3t2-18t+15.

b) Tập xác định của hàm số vt là: D=R.

Ta có: vt=0↔3t2-18t+15=0↔t=1 hoặc t=5.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Chất điểm chuyển động sang phải   vt>0  t∈(-∞;-5)∪(-1;+∞).

Chất điểm chuyển động sang trái   vt<0  t∈(-5;-1).

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Hoạt động 4: Nhận biết khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số

Quan sát đồ thị của hàm số y=x3+ 3x2+5 (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:

Hướng dẫn chi tiết:

Dựa vào đồ thị trên, ta có các bảng sau:
 

Luyện tập 4: Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y=f(x). Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Hướng dẫn chi tiết:

Dựa vào đồ thị trên, ta thấy:

• Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và yCĐ=y-1=5.
• Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và yCt=y1=1.

Hoạt động 5: Nhận biết cách tìm cực trị của hàm số

Cho hàm số y=13x3- 3x2+8x+1

1. Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0.
2. Lập bảng biến thiên của hàm số
3. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Hướng dẫn chi tiết:

1. Tập xác định của hàm số là 

Ta có: f'x=y'=x2-6x+8.

f'x=0↔x2-6x+8=0↔x=4 hoặc x=2.

1. Lập bảng biến thiên của hàm số:

1. Từ bảng biến thiên ta suy ra:

• Hàm số đạt cực đại tại điểm (2;233).
• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (4;193).

Luyện tập 5: Tìm cực của các hàm số sau:

Hướng dẫn chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: y'=4x3-6x; y'=0 ↔x=0 hoặc x=±62.

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đạt cực đại tại x=0 và yCĐ=y0=1.
• Hàm số đạt cực tiểu tại x=±62 và yCT=y62=-54.

b) Tập xác định của hàm số là R\{-2}.

Ta có: y'=-2x+2x+2-(-x2+2x-1)(x+2)2=-2x2-4x+2x+4+x2-2x+1(x+2)2=-x2-4x+5(x+2)2;

y'=0↔-x2-4x+5(x+2)2=0↔x=-5 (thỏa mãn) hoặc x=1(thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đạt cực đại tại x=1 và yCĐ=y1=0.
• Hàm số đạt cực tiểu tại x=-5 và yCT=y-5=12.

Vận dụng 2: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức:

ht=2+24,5t-4,9t2.

Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Hướng dẫn chi tiết:

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: h'(t)=24,5-9,8t; h't=0↔24,5-9,8t=0↔t=2,5.

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại t=2,5 và h2,5=32,625.

Do đó thời điểm t=2,5 giây thì vật đạt độ cao lớn nhất.

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Giải chi tiết bài 1.1:

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

1. Đồ thị hàm số y=x3-32x2 (H.1.11);
2. Đồ thị hàm số y=3(x2-4)2 (H.1.12).

Hướng dẫn chi tiết:

1. Đồ thị hàm số y=x3-32x2 đồng biến trên khoảng (-∞;0) và (1;+∞), nghịch biến trên khoảng (0;1).
2. Đồ thị hàm số y=3(x2-4)2 nghịch biến trên khoảng (-2;0) và (2;+∞), nghịch biến trên khoảng (-∞;-2) và (0;2).

Giải chi tiết bài 1.2:

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) y=13x3-2x2+3x+1;

b) y=-x3+2x2-5x+3.

Hướng dẫn chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: y'=x2-4x+3; y'=0↔x2-4x+3=0↔x=1 hoặc x=3.

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞).
• Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).

b) Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: 

y'=-3x2+4x-5=-3x2+3.2.23.x-3.49-113=-3x-232-113.

Vì x-232≥0 với ∀x∈R  -3x-232≤0 với ∀x∈R

 -3x-232-113≤-113<0 với ∀x∈R. 

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞).

Giải chi tiết bài 1.3:

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Hướng dẫn chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là R\{-2}.

Ta có: y'=2x+2-2x-1x+22=2x+4-2x+1x+22=5x+22.

Vì y'>0 với ∀x≠-2, hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (-2;+∞).

b) Tập xác định của hàm số là R\{3}.

Ta có: y'=2x+1x-3-(x2+x+4)(x-3)2=2x2-6x+x-3-x2-x-4(x-3)2=x2-6x-7(x-3)2.

y'=0↔x2-6x-7(x-3)2=0↔x=7 (thỏa mãn) hoặc x=-1 (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (7;+∞).
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1;3) và (3;7).

Giải chi tiết bài 1.4:

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

Hướng dẫn chi tiết:

a) Tập xác định: D=[-2;2].

Ta có: y'=-2x24-x2=-x4-x2; y'=0↔x=0 (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;0).
• Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).

b) Tập xác định: D=R.

Ta có: y'=x2+1-x.2x(x2+1)2=-x2+1(x2+1)2; y'=0↔-x2+1(x2+1)2=0↔x=±1.

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;1).
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1) và (1;+∞).

Giải chi tiết bài 1.5:

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số:

Nt=25t+10t+5, t≥0,

trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

b) Tính đạo hàm N'(t) vàN(t) . Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó. 

Hướng dẫn chi tiết:

a) Số dân của thị trấn đó vào:

• Năm 2000: N0=25.0+100+5=2 (nghìn người);
• Năm 2015: N15=25.15+1015+5=19,25 (nghìn người).

b) Tập xác định: D=R\{-5}

Ta có: N't=25t+5-(25t+10)(t+5)2;

 N(t) =25t+10t+5 =25+10t1+5t =251=25.

Do N(t) =25 nên dù có tăng dân số thì số dân cũng không vượt quá ngưỡng 25 nghìn người.

Giải chi tiết bài 1.6:

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất y=f'(x) của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13.

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.

b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Hướng dẫn chi tiết:

a) Từ đồ thị hàm số trên, ta thấy:

Trên các khoảng (0;2) và (4;6), f'x<0. Do đó hàm số nghịch biến.

Trên các khoảng (2;4) và (6;+∞), f'x>0. Do đó hàm số đồng biến.

b) Từ đồ thị hàm số trên, ta thấy:

• Với ∀x∈0;2, f'(x)<0 và với ∀x∈2;4, f'x>0, tại điểm x=2 thì f'x=0, do đó đây là một điểm cực tiểu của hàm số.
• Với ∀x∈2;4, f'x>0 và với ∀x∈4;6, f'x<0, tại điểm x=4 thì f'x=0, do đó đây là một điểm cực đại của hàm số.
• Với ∀x∈4;6, f'x<0 và với ∀x∈6;+∞, f'x>0, tại điểm x=6 thì f'x=0, do đó đây là một điểm cực tiểu của hàm số.

Giải chi tiết bài 1.7:

Tìm cực trị của các hàm số sau:

1. y=2x3-9x2+12x-5;
2. y=x4-4x2+2;
3. y=x2-2x+3x-1;
4. y=4x-2x2.

Hướng dẫn chi tiết:

1. Tập xác định: D=R.

Ta có: y'=6x2-18x+12;

y'=0↔6x2-18x+12=0↔x=2 hoặc x=1.

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số có điểm cực đại là (1;0) và điểm cực tiểu là (2;-1).

1. Tập xác định: D=R.

Ta có: y'=4x3-8x; y'=0↔4x3-8x=0↔x=0 hoặc x=±2.

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số có điểm cực đại là (0;2) và điểm cực tiểu là (-2;-2) và (2;-2).

1. Tập xác định: D=R\{1}.

Ta có: y'=2x-2x-1-x2-2x+3x-12=x2-2x-1x-12;

y'=0↔x2-2x-1x-12=0↔x=1±2 (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số có điểm cực đại là (1-2;-22) và điểm cực tiểu là (1+2;22).

1. Tập xác định: D=[0;2].

Ta có: y'=4-4x24x-2x2=2-2x4x-2x2; y'=0↔2-2x4x-2x2=0↔x=1 (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số có điểm cực đại là (1;2) và không có điểm cực tiểu.

Giải chi tiết bài 1.8:

Cho hàm số y=fx=|x|.

1. Tính các giới hạn fx-f(0)x-0  và fx-f(0)x-0 .

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x=0.

1. Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại x=0 (xem Hình 1.4).

Hướng dẫn chi tiết:

1. Ta có: fx-f(0)x-0 =|x|-|0|x-0 =xx =1;

fx-f(0)x-0 =|x|-|0|x-0 =-xx =-1.

fx-f(0)x-0 ≠fx-f(0)x-0 , do đó hàm số không có đạo hàm tại x=0.

1. Ta có: y=fx=x={-x khi x∈(-∞;0) x khi x∈(0;+∞) 

Hàm số y=fx=x liên tục và xác định trên (-∞;+∞)

Với một số h>0, hàm số y=fx=x>0=f(0) với ∀x∈(-h;h)⊂(-∞;+∞) và x≠0. Do đó hàm số có điểm cực tiểu tại x=0.

Giải chi tiết bài 1.9:

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số

ft=50001+5e-t , t≥0,

trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f't sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Hướng dẫn chi tiết:

Tập xác định: D=R.

Ta có: f'(t)=--5e-t.50001+5e-t2=25000e-t1+5e-t2

Tốc độ bán hàng lớn nhất f'(t) là lớn nhất.

Ta có: f''t=-25000e-t.1+5e-t2+25000e-t.5e-t.2(1+5e-t)1+5e-t4

  =-25000e-t(1+5e-t)(1+5e-t-10e-t)1+5e-t4=-25000e-t(1-5e-t)1+5e-t3;

f''t=0↔-25000e-t(1-5e-t)1+5e-t3=0↔1-5e-t=0 e-t=15↔t=ln 5  (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên với t≥0:

Từ bảng biến thiên, ta thấy tại điểm t=ln 5  thì hàm số f'(t) đạt cực đại. Vậy sau khi phát hành ln 5  (≈1,6) năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.