Đáp án Toán 12 kết nối tri thức Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

BÀI 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG

Hoạt động 1: Nhận biết đường tiệm cận ngang.

Cho hàm số  có đồ thị (C). Với , xét điểm thuộc (C). Gọi  là hình chiếu vuông góc của  trên đường thẳng  (H.1.19).

1. Tính khoảng cách .
2. Có nhận xét gì về khoảng cách khi ?

Hướng dẫn chi tiết:

1. Ta có các điểm  và .

(do )

1. Ta có: . Do đó, khi  thì .

Luyện tập 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có: ; .

Do đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số  là .

Vận dụng 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có:

Do đó,  khi .

Trên Hình 1.18, khi  thì  càng tiến sát tới trục hoành  nhưng không tiếp xúc.

2. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

Hoạt động 2: Nhận biết đường tiệm cận đứng.

Cho hàm số  có đồ thị (C). Với , xét điểm thuộc (C). Gọi  là hình chiếu vuông góc của  trên đường thẳng  (H.1.22).

1. Tính khoảng cách .
2. Khi thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm ?

Hướng dẫn chi tiết:

1. Ta có các điểm  và

(do )

1. Khi  thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách  dần đến 0, ta thấy điểm  tiến đến  phía trên.

Luyện tập 2: Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có: ; . Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là .

Ta có: ; . Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là .

Vận dụng 2: Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là  (triệu đồng), với .

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  và nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này.

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có: . Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là .

Tiệm cận đứng của đồ thị cho biết việc loại bỏ hoàn toàn loại tảo độc khỏi hồ nước đó là không thể dù có tốn bao nhiêu chi phí.

3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN

Hoạt động 3: Nhận biết đường tiệm cận xiên.

Cho hàm số  có đồ thị (C) và đường thẳng  như Hình 1.24.

1. Với , xét điểm thuộc (C). Gọi  là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng . Có nhận xét gì về khoảng cách  khi ?
2. Chứng tỏ rằng . Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Hướng dẫn chi tiết:

1. Nhìn vào đồ thị, khi tiến dần đến thì khoảng cách tiến dần đến 0.
2. Ta có:

.

Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 cho thấy khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng tiến đến 0 khi .

Luyện tập 3: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có: ;

Vậy đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng .

Ta có:

Do đó: ;

Vậy đồ thị có một tiệm cận xiên là đường thẳng .

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Giải chi tiết bài 1.16:

Hình 1.26 là đồ thị của hàm số .

Sử dụng đồ thị này, hãy:

1. Viết kết quả của các giới hạn sau: ;; ; .
2. Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Hướng dẫn chi tiết:

1. Ta có: ; ; ; .
2. Hàm số có hai tiệm cận đứng là  và  và một tiệm cận ngang là .

Giải chi tiết bài 1.17:

Đường thẳng  có phải là tiệm cận đứng của hàm số  không?

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có hàm số ;

;

Vậy đường thẳng  không phải là tiệm cận đứng của hàm số.

Giải chi tiết bài 1.18:

Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

Hướng dẫn chi tiết:

1. Ta có:

;

Vậy hàm số có một tiệm cận ngang là .

Ta có: ;

Vậy hàm số có tiệm cận đứng là .

1. Ta có: ;

Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.

Ta có: ;

Vậy hàm số có một tiệm cận ngang là .

Ta có:

Vậy hàm số có một tiệm cận xiên là đường thẳng .

Giải chi tiết bài 1.19:

Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất  (sản phẩm) là

(triệu đồng).

Khi đó  là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số  giảm và . Tính chất này nói lên điều gì?

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có:

Vì  với mọi số thực  nên hàm số  giảm.

(điều phải chứng minh)

Tính chất này nói lên điều rằng khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm, nhưng không dưới 2.

Giải chi tiết bài 1.20:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 144 m². Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là  (m).

1. Viết biểu thức tính chu vi  (mét) của mảnh vườn.
2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là: (m)

Ta có: chu vi mảnh vườn  (m)

1. Ta có:

;

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có: ;

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là .

Ta có:

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là .