Đáp án Toán 12 kết nối tri thức Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

BÀI 8: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

Hoạt động 1: Hình thành biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian.

Trong không gian , cho hai vectơ và .

1. Biểu diễn hai vectơ và qua các vectơ đơn vị .
2. Biểu diễn hai vectơ và qua các vectơ đơn vị , từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.

Hướng dẫn chi tiết:

1. Ta có: ; .
2. Ta có: . Do đó,

. Do đó .

Luyện tập 1: Trong không gian , cho ba vectơ , và . Tìm tọa độ của vectơ .

Hướng dẫn chi tiết:

Hoạt động 2: Thiết lập tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác.

Trong không gian , cho tam giác có , và .

1. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Tìm tọa độ của theo tọa độ của và .
2. Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm tọa độ của theo tọa độ của và .

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có: , ,

1. Vì  là trung điểm của đoạn thẳng  nên:

. Do đó, .

1. Vì là trọng tâm của tam giác nên:

. 

Do đó,

Luyện tập 2: Trong không gian , cho ba điểm  và . Tìm tọa độ điểm  sao cho tam giác  nhận  là trọng tâm.

Hướng dẫn chi tiết:

Để  là trọng tâm của tam giác  thì:

Vậy .

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Hoạt động 3: Thiết lập biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian.

Trong không gian , cho hai vectơ và .

1. Giải thích vì sao và .
2. Sử dụng biểu diễn để tính các tích vô hướng và .
3. Sử dụng biểu diễn để tính tích vô hướng .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Ta có:

Vì .

1. Ta có: 

1. Ta có: 

Mà ; ; nên .

Luyện tập 3: Trong Ví dụ 3, tính .

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có:

Do đó,

Luyện tập 4: Trong không gian , cho , và .

1. Tính chu vi của tam giác .
2. Tính .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Ta có:

;

;

;

Vậy chu vi tam giác là: .

1. Vì

Nên .

3. VẬN DỤNG TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

Luyện tập 5: Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).

Hướng dẫn chi tiết:

Gọi  là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B). Vì hướng của máy bay không đổi nên  và  cùng hướng. Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến D nên . Do đó, .

Mặt khác,  nên

Vậy . Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là

Luyện tập 6: Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc α.

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có:  cm; ; .

Do đó,  cm

Ta có:

. Vậy .

Luyện tập 7: Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có, khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là , khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là .

Ta có:  (km), 

(km).

Vì gốc  đặt tại điểm xuất phát và  nên khinh khí cầu thứ hai gần điểm xuất phát hơn.

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Giải chi tiết bài 2.20:

Trong không gian , cho ba vectơ  và .

1. Tìm tọa độ của các vectơ  và .
2. Tính các tích vô hướng  và .

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có:  nên .

Giải chi tiết bài 2.21:

Trong không gian , cho ba điểm  và .

1. Tìm tọa độ của các vectơ , từ đó chứng minh rằng ba điểm  không thẳng hàng.
2. Tìm tọa độ của vectơ , từ đó suy ra tọa độ của điểm  sao cho tứ giác  là hình bình hành.
3. Tính chu vi của hình bình hành .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Ta có:

Vì nên hai vectơ không cùng phương. Do đó, ba điểm không thẳng hàng.

1. Ta có: , .

Suy ra,

Gọi tọa độ điểm  là , ta có:

Để tứ giác  là hình bình hành thì .

Suy ra: . Vậy

1. Ta có: 

,

.

Vậy chu vi hình bình hành là: .

Giải chi tiết bài 2.22:

Trong không gian , cho tam giác  có ,  và .

1. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác .
2. Chứng minh rằng .
3. Tính .

Hướng dẫn chi tiết:

1. Gọi là trọng tâm của tam giác . Khi đó, .

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác  là .

1. Ta có:

Vì  nên . Do đó, .

1. Ta có: ;

Vì tam giác vuông tại nên

Giải chi tiết bài 2.23:

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ  có gốc  trùng với một góc phòng và mặt phẳng  trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có: , .

Vì phòng học thiết kế dạng hình hộp chữ nhật nên hình  là hình chữ nhật. Gọi  là giao điểm của hai đường chéo  và  nên  là trung điểm của  và

Vì đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học nên đèn trùng với điểm .

Ta có: . Suy ra, . 

Vậy tọa độ của điểm treo đèn là .

Giải chi tiết bài 2.24:

Trong không gian, xét hệ tọa độ  có gốc  trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng  trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục hướng về phía tây, trục  hướng về phía nam và trục  hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.

Hướng dẫn chi tiết:

Do

Do đó, ra đa không thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là đối với hệ tọa độ nói trên.