CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

(24 câu)

1. NHẬN BIẾT (7 CÂU)

Câu 1: Cho hàm số  có đồ thị như hình vẽ.

Hãy xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số.

Trả lời:

Quan sát đồ thị ta thấy:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng .

Câu 2: Cho hàm số  có đồ thị như hình vẽ.

Hãy xác định khoảng biến thiên và cực trị của hàm số.

Trả lời:

Quan sát đồ thị ta thấy:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

- Hàm số đạt cực đại tại  và đạt cực tiểu tại .

Câu 3: Cho hàm số  có đồ thị như hình vẽ.

Hãy xác định các điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số.

Trả lời:

Quan sát đồ thị ta thấy:

-  Hàm số đạt cực đại tại  và đạt cực tiểu tại .

Câu 4. Cho hàm số  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên:

Hãy xác định khoảng biến thiên, điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số.

Trả lời:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

-  Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

- Hàm số đạt cực đại tại  và đạt cực tiểu tại .

Câu 5: Xét tính đơn điệu của hàm số .

Trả lời:

- Tập xác định của hàm số là: .

- Ta có: .

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Câu 6: Cho hàm số . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng nào?

Trả lời:

- Tập xác định của hàm số là: .

- Ta có: .

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

Câu 7: Cho hàm số  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? Tìm cực trị và giá trị cực trị.

Trả lời:

Quan sát đồ thị ta thấy:

- Hàm số có 1 điểm cực trị.

- Hàm số đạt cực tiểu tại ; giá trị cực tiểu .

2. THÔNG HIỂU (8 CÂU)

Câu 1: Xét tính đơn điệu của hàm số .

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

               hoặc .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và ; nghịch biến trên khoảng .

Câu 2: Xét tính đơn điệu của hàm số .

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

              .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ; nghịch biến trên khoảng .

Câu 2: Xét tính đơn điệu của hàm số .

Trả lời:

Tập xác định:

Ta có:

 hoặc .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và ; nghịch biến trên khoảng  và .

Câu 4: Tìm các điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số .

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

             .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại ; giá trị cực đại .

Câu 5. Cho hàm số  có đạo hàm . Tìm số điểm cực đại của hàm số.

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại .

Vậy hàm số đã cho có 1 điểm cực đại.

Câu 6: Cho hàm số  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên:

Hàm số  có bao nhiêu điểm cực trị?

Trả lời:

Tập xác định:

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

Hàm số  có hai điểm cực trị là  và .

Với ,

Với ,

 Đồ thị  nhận trục  là trục đối xứng.

Ta có bảng biến thiên của hàm số :

Vậy hàm số  có 5 điểm cực trị.

Câu 7: Tìm các hệ số  để đồ thị hàm số  có đạt cực trị bằng 0 tại điểm  và đồ thị của hàm số đi qua điểm .

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

Vì đồ thị hàm số đạt cực trị bằng 0 tại điểm  và đi qua điểm  nên:

.

Vậy hàm số  thoả mãn điều kiện bài toán.

Câu 8: Cho hàm số  có đồ thị  như hình vẽ sau:

Xét tính đơn điệu của hàm số.

Trả lời:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

- Khi , , suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .

- Khi , , suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .

3. VẬN DỤNG (7 câu)

Câu 1: Tìm  để đồ thị hàm số  đồng biến trên tập xác định.

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

Hàm số  đồng biến trên  khi và chỉ khi:

Vậy với  thì hàm số  đồng biến trên .

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của  để hàm số  nghịch biến trên khoảng .

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng  khi và chỉ khi:

.

Vì  nên .

 có 6 giá trị nguyên của  thoả mãn.

Vậy  thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .

Câu 3: Tìm  để đồ thị hàm số  nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi phương trình  có hai nghiệm phân biệt  và  với mọi

Do  nên  với mọi .

- Ta có:  hoặc .

Khi đó:

Vậy  thì hàm số đã cho thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: Tìm  để hàm số  đạt cực trị tại  sao cho .

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

Hàm số đạt cực trị tại  khi và chỉ khi phương trình  có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó:

Vì  là hai nghiệm phân biệt của phương trình , theo Vi – et, ta có:

Ta có:

Từ , suy ra .

Vậy với  thì hàm số đã cho thoả mãn điều kiện bài toán.

Câu 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số .

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

 hoặc .

Gọi  và  là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là đường thẳng  có phương trình là:

.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: .

Câu 6: Cho hàm số  có hai điểm cực trị là  và . Tính diện tích tam giác  với  là gốc toạ độ.

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:;

 hoặc .

Gọi  và  là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Tam giác  có  và

.

Ta có:

 ;

;

.

.

Vậy diện tích tam giác  là 5.

Câu 7: Cho hàm số  có đạo hàm trên  và . Xét tính đơn điệu của hàm số .

Trả lời:

Tập xác định:

Ta có:

 ;

Bảng xét dấu của :

Vậy hàm số  đồng biến trên các khoảng  và ;  nghịch biến trên các khoảng  và .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Tìm  để đồ thị hàm số  có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.

Trả lời:

Tập xác định:

- Ta có:

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình  có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình  có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Khi đó:    

Gọi  là 3 điểm cực trị của hàm số.

Ta có: .

Vì  cân tại .

Gọi  là trung điểm của  

.

Ta có: ;

.

Khi đó:

Vậy với  thì hàm số đã cho có có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.

Câu 2: Cho hàm số  có đồ thị đạo hàm  là đồ thị như hình vẽ. Xét tính đơn điệu của hàm số hàm số .

Trả lời:

Tập xác định:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy  là cực trị của hàm số.

Khi đó ;

Vì ;

.

Ta có:

;

Bảng xét dấu của

Vậy hàm số  đồng biến trên các khoảng  và ; nghịch biến trên các khoảng  và .