Giáo án hệ thống kiến thức toán 11 chân trời sáng tạo

CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN

------------------------------------------------------------

KIẾN THỨC LÝ THUYẾT

Sơ đồ 1: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

1. Dãy số

Dãy số là gì?

• Hàm số u xác định trên tập hợp số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số), nghĩa là

U: N* → R

      n      

Dãy số trên được kí hiệu là

Dạng khai triển của dãy số  là:

-  gọi là số hạng đầu,  gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) của dãy số.

- Nếu với mọi n, ta nói  là dãy số không đổi.

• Hàm số u xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; ...; m} thì được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của dãy số này là , trong đó là số hạng đầu và là số hạng cuối.

Cách xác định dãy số

Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:

• Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).
• Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát
• Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là

          - Cho số hạng thứ nhất  (hoặc một vài số hạng đầu tiên);

- Cho một công thức tính  theo  (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Cách 4: Cho bằng cách mô tả.

Dãy số tăng, dãy số giảm

• Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu , với mọi
• Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ,với mọi

Dãy số bị chặn

• Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho với mọi
• Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho với mọi
• Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao cho với mọi

1. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, nghĩa là :

với

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Nếu cấp số cộng  có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát  của nó được xác định bởi công thức :

 với

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

Giả sử  là một cấp số cộng có công sai d. Đặt  Khi đó

Hay

III. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là:

với

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu cấp số nhân  có số hạng đầu và công bội q thì số hạng tổng quát  của nó được xác định bởi công thức

 với

Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân

• Giả sử là một cấp số nhân có công bội . Đặt . Khi đó
• Khi thì

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN 1

1. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Khoanh tròn chữ cái trước câu trả lời đúng:

Câu 1: Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy là cấp số cộng?

1. a) Dãy số với b) Dãy số  với
2. c) Dãy số với d) Dãy số  với
3. 4.
4. 2.
5. 1.
6. 3.

Câu 2: Cho dãy số 4, 12, 36, 108, 324,…. Số hạng thứ 10 của dãy số đó là

73872. 73872.
73873. 77832.
73874. 72873.
73875. 78732.

Câu 3: Cho một cấp số nhân có  khi đó số hạng bằng bao nhiêu ?

32. 32.
33. 64.
34. .
35. .

Câu 4: Cho một cấp số cộng  có  Tìm công sai .

1. .
2. .
3. .
4. .

Câu 5: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

1. Dãy số giảm.
2. Dãy số không tăng không giảm.
3. Dãy số tăng.
4. Dãy số vừa tăng vừa giảm.

Câu 6: Cho dãy số   với  . Khẳng định nào sau đây là sai?

1. Năm số hạng đầu của dãy là: .
2. Là dãy số tăng.
3. Bị chặn trên bởi số M .
4. D. Không bị chặn.

Câu 7: Một cấp số nhân có số hạng đầu  công bội Biết  Tìm n.

Câu 8: Cho cấp số nhân  biết  Tính công bội q của cấp số nhân.

1. .
2. .
3. .
4. .

Câu 9: Cho cấp số cộng  có số hạng đầu  và công sai . Giá trị của  bằng

17. 17.
18. 22.
19. 12.
20. 25.

Câu 10: Cho dãy số  có số hạng tổng quát . Số là số hạng thứ mấy?

300. 300.
301. 212.
302. 250.
303. 249.
304. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1: Cho cấp số cộng  có  và . Số hạng thứ  bằng bao nhiêu?

Câu 2: Cho cấp số nhân  có . Tính số hạng đầu  và công bội  của cấp số nhân.

Câu 3: Xét tính tăng giảm của dãy số sau

1. a) Dãy , với .
2. b) Dãy , với

Câu 4: Cho cấp số cộng  có công sai  và  đạt giá trị nhỏ nhất. Số  là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho.