HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1.

+ Quan sát vào Hình 1, ta thấy rằng trong hai đường thẳng trong một mặt phẳng có ba khả năng xảy ra sau đây

·        Nếu a và b có hai điểm chung thì ta nói a trùng với b, kí hiệu a  b

·        Nếu a và b có một điểm chung duy nhất M thì ta nói a và b cắt nhau tại M, kí hiệu a  b = M

·        Nếu a và b không có điểm chung thì ta nói a và b song song với nhau, kí hiệu a // b

+ Quan sát hình 2, ta thấy a và b không nằm trong cùng một mặt phẳng nên a và b chéo nhau hay a chéo với b.

- GV cho HS nêu lại khái niệm về hai đường thẳng song song trong không gian.

- GV cho HS đọc chú ý

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 1. GV hướng dẫn:

a) Để xét vị trí của tương đối của MN và BC, ta xét xem MN và BC có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

+ Điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN thuộc mặt phẳng (ABC). Từ đó suy ra MN // BC

b) Để xét vị trí tương đối của AN và CD, ta xét xem AN và CD có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

+ N là trung điểm AC nên AN nằm trong mặt phẳng (ACD). Từ đó suy ra AN cắt CD tại C.

c) Để xét xem vị trí tương đối của MN và CD, ta xét xem MN và CD có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

+ MN nằm trong mặt phẳng (ABC) và CD nằm trong mặt phẳng (ACD), (BCD) nên MN và CD không cùng nằm trong một mặt phẳng. Từ đó suy ra MN và CD chéo nhau.

- HS thảo luận nhóm đôi, làm Thực hành 1, giải thích.

- HS suy nghĩ cá nhân thực hiện Vận dụng 1. GV gợi mở:

+ Xét vị trí hai thanh sắt đối diện nhau qua hai bên cầu? (không có điểm chung nên song song).

+ Xét vị trí thanh sắt nằm ở mái cầu và thanh sắt nằm ở thành cầu? (không nằm cùng một mặt phẳng nên chéo nhau).

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức :

Hai đường thẳng song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

HĐKP 1:

a)

- Hình 1a, a và b có nhiều điểm chung nên a và b trùng nhau

- Hình 1b, a và b có một điểm chung duy nhất M nên a và b cắt nhau

- Hình 1c, a và b không có điểm chung nên a và b song song

 Khi hai đường thẳng a và b cùng nằm trên một mặt phẳng thì a và b có thể trùng nhau, song song hoặc cắt nhau.

b)

Ta có: AB nằm trong mặt phẳng ABD, ABC

CD nằm trong mặt phẳng ACD, BCD

 AB và CD không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Kết luận

Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung

Chú ý:

a) Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

b) Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu mp(a,b)

Ví dụ 1 (SGK – tr.64)

Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) MN và BC

b) AN và CD

c) MN và CD

Giải

a) Trong mặt phẳng (ABC), ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // BC

b) Trong mặt phẳng (ACD), ta có AN cắt CD tại điểm C.

c) Giả sử MN và CD cùng nằm trong một mặt phẳng (P), suy ra đường thẳng NC nằm trong (P), suy ra (P) chứa điểm A. Tương tự, ta cũng có AM nằm trong (P), suy ra (P) chứa điểm B. Suy ra (P) chứa cả bốn đỉnh của tứ diện ABCD. Điều này vô lí.

Vậy hai đường thẳng MN và CD không nằm trong bất kì mặt phẳng nào, suy ra MN chéo với CD.

Thực hành 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) AB và CD

b) SA và SC

c) SA và BC

Giải

a) Trong mặt phẳng (ABCD) ta có hình bình hành ABCD nên AB // CD

b) Trong mặt phẳng (SAC), ta có SA cắt SC tại điểm S.

c) Giả sử SA và BC cùng nằm trong một mặt phẳng (P). Suy ra đường thẳng AC nằm trong (P). Suy ra (P) chứa cả 4 điểm của tứ diện SABC. ĐIều này là vô lí.

Vậy SA và BC không nằm trong bất kì mặt phẳng nào, suy ra SA chéo với BC.

Vận dụng 1:

Hãy chỉ ra các ví dụ về hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau trong hình cầu sắt ở Hình 6.

Giải

- Hai thanh sắt đối diện nhau qua hai bên cầu song song với nhau.

- Thanh sắt nằm ở mái cầu và thanh sắt nằm ở thành cầu chéo nhau.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 2. GV gợi ý:

a) Áp dụng tiên đề Ơ – clít về đường thẳng song song chỉ có một đường thẳng d” qua M và song song với d là đường thẳng. Từ đó suy ra trong mặt phẳng (P) có d’ và d” là hai đường thẳng cùng đi qua M và song song với d nên d’, d” trùng nhau.

b) Từ đề bài a = (P)  (R); b = (Q)  (R);  c = (P)  (Q) nên a, b, c cắt nhau. Có a cắt b tại M nên M thuộc c

- Từ kết quả của HĐKP 2a, GV đưa ra Định lí 1

- HS tìm hiểu Ví dụ 2. GV hướng dẫn:

 Từ hình bình hành ACBE suy ra AE // BC, áp dụng định lí 1 suy ra AE trùng với d (d là đường thẳng đi qua A và song song với BC).

- Áp dụng HS làm Thực hành 2.

+ Chứng minh đừng thẳng d trùng với đường thẳng SM

- Từ kết quả của HĐKP 2b, GV đưa ra Định lí 2

- HS tìm hiểu Ví dụ 3. GV hướng dẫn:

a) Xác định ba mặt phẳng giao nhau tạo ra ba đường thẳng cắt nhau.

Chẳng hạn:

(BAC)  (BAD) = BA

(BAC)  (BCD) = BC

(BCD)  (BAD) = BD

 BA  BC  BD = B

b) Xác định ba mặt phẳng giao nhau tạo ra ba đường thẳng song song.

Chẳng hạn:

(ABCD)  (ABMN) = AB

(ABCD)  (CDMN) = CD

(CDMN)  (ABMN) = MN

Mà AB // CD // MN

- Từ Định lí 2, GV đưa ra hệ quả.

- HS đọc hiểu Ví dụ 4.

+ Xác định điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).

+ Áp dụng định lí 2, tìm đoạn thẳng song song với BC và AD

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3.

+ Xác định d giao tuyến của mp(a,c) và mp(M,b). Từ đó suy ra M  d.

+ Áp dụng định lí 1, d trùng với a suy ra a // b

- GV cho HS phát biểu Định lí 3.

- HS đọc chú ý.

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 5. GV hướng dẫn:

+ Chứng minh MPNQ là hình bình hành. Từ đó suy ra MN và PQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+ Chứng minh MRNS là hình bình hành. Từ đó suy ra MN và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

- Áp dụng HS làm Thực hành 3.

a) Chứng minh MN // IJ // CD. Từ đó suy ra IJMN là hình bình hành.

b) Áp dụng tích chất đường trung bình chứng minh MN =  CD. Từ đó suy ra vị trí của điểm M

- HS thảo luận nhóm đôi, thực hiện Vận dụng 2.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song

HĐKP 2:

a) Hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau.

b) Nếu a và b có điểm chung M thì điểm M có thuộc c.

Định lí 1

 Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ 2 (SGK – tr.102)

 Cho tứ diện ABCD. Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình bình hành ACBE. Gọi d là đường thẳng trong không gian đi qua A và song song với BC. Chứng minh điểm E thuộc đường thẳng d.

Giải

Ta có ACBE là hình bình hành, suy ra AE // BC. Do trong không gian chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua A và song song với BC, suy ra AE phải trùng d, vậ điểm E phải thuộc d.

Thực hành 2:

Cho hình chóp S.ABCD. Vẽ hình thang ADMS có hai đáy là AD và MS. Gọi d là đường thẳng trong không gian đi qua S và song song với AD. Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (SAD)

Giải

Ta có hình thang ADMS có đáy là AD và MS nên AD // MS

Trong không gian, chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua S và song song với AD nên d phải trùng SM

Mà SM  (ADMS) nên d  (ADMS) Hay d  (SAD)

Định lí 2

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau the oba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Ví dụ 3 (SGK – tr.103)

Hệ quả

 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ 4 (SGK – tr.104)

HĐKP 3:

Do d là giao tuyến của mp(a,c) và mp(M,b) nên M  d.

Do chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua M và song song với b nên d phải trùng a

Định lí 3

 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Chú ý: Khi hai đường thẳng phân biệt a, b cùng song song với đường thẳng c thì ta có thể kí hiệu là a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.

Ví dụ 5 (SGK – tr.104)

Gọi M, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD như Hình 14. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS có cùng trung điểm.

Giải

Ta có MP là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MP // AC và MP = .

Ta cũng có QN là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra QN // AC và QN =

MP và QN cùng song song với AC suy ra MP // QN. Tứ giác MPNQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành, suy ra MN và QP có cùng trung điểm I. Chứng minh tương tự ta cũng có MN và RS có cùng trung điểm I. Vậy các đoạn thẳng MN, PQ, RS có cùng trung điểm.

Thực hành 3:

Giải

a) Mặt phẳng (P) đi qua IJ, mặt phẳng (ACD) đi qua CD

Mà I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD nên IJ // BD

Nên (P) giao với (ACD) tại MN // IJ // CD

Vậy IJMN là hình thang có đáy là MN và IJ

b) Để IJMN là hình bình hành thì IJ = MN

Mà IJ =  CD nên MN =  CD 

Vậy M là trung điểm của AC

Vận dụng 2

Giải

a) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo giao tuyến song song là: (P), (Q), (R)

b) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo giao tuyến đồng quy là: (P), (R), (S)