HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1.

+ Quan sát vào công thức của dãy số và giá trị của bảng a, ta thấy khi n càng lớn thì giá trị phân số càng nhỏ.

+ Quan sát hình vẽ điểm  càng dần đến điểm 0 khi n trở nên rất lớn. Hay chính là với số dương bất kì cho trước,  vẫn nhỏ hơn số đó, kể từ số hàng nào đó trở đi.

Ví dụ cho số dương M = 0,002; thì với n >  2000 thì

Ta gọi đó dãy có giới hạn là 0.

- GV cho HS nêu lại khái niệm về dãy số có giới hạn 0.

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 1. GV hướng dẫn:

+ Để xác định giới hạn dãy này, ta so sánh giá trị của dãy  với dãy số  Giá trị của 2 dãy này có mối quan hệ gì?

( )

+ Ta vừa xác định ở trên với mọi số thực dương bé tùy ý ta đều có giá trị  sao cho với , thì  . Từ đó cũng xác định được giới hạn của dãy  .

- GV đặt câu hỏi, cho HS thảo luận nhóm đôi:

+ Hãy so sánh  với (với k nguyên dương). Từ đó có thể kết luận gì về giá trị ?

(  từ đó

+ Xét các dãy số có dạng  với . Khi n càng lớn thì giá trị  sẽ như thế nào? Từ đó xác định giá trị 

(Khi n càng lớn thì giá trị  càng nhỏ. )

- Từ đó GV giới thiệu một số giới hạn cơ bản.

+ Sử dụng các dãy cơ bản đó chúng ta có thể tính nhiều giới hạn các dãy.

+ GV chú ý  cho HS: với điều kiện .

- HS đọc hiểu Ví dụ 2, trình bày lại, giải thích đã sử dụng tính chất nào để tìm giới hạn.

- HS thảo luận nhóm đôi, làm Thực hành 1, giải thích.

- HS thảo luận nhóm đôi, thực hiện HĐKP 2.

- GV gợi mở:

Ta nhận thấy  càng dần đến 0 khi n trở nên rất lớn. Hay điểm càng dần đến điểm 2 khi n trở nên rất lớn.

+ Khi đó ta nói dãy  có giới hạn là 2.

- GV cho HS phát biểu khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số.

+ Chú ý cho HS giới hạn của hàm hằng.

- HS đọc hiểu Ví dụ 3. GV hướng dẫn:

+ Thực hiện phép chia tử cho mẫu, ta thấy dãy số có dạng , đến đây ta có thể thấy  chúng ta có thể tính được giới hạn. Nên ta xét tính giới hạn của hiệu  .

- Áp dụng HS thực hiện Thực hành 2.

+ GV hướng dẫn HS chọn dãy số có giới hạn 0 phù hợp để từ đó tính được giới hạn dãy đã cho.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức :

+ Giới hạn 0 của dãy số. Một số dãy số cơ bản có giới hạn 0: , , k nguyên dương, .

+ Giới hạn hữu hạn của dãy số có thể tính được thông qua việc chọn lựa dãy số có giới hạn 0 một cách hợp lí.

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số.

a) Giới hạn 0 của dãy số

HĐKP 1: .

a)

b) .

Ta có:  khi

 khi .

c)

Khoảng cách từ  đến 0 trở nên rất bé khi n trở nên rất lớn.

Kết luận

Ta nói dãy số  có giới hạn 0 khi  dần tới dương vô cực, nếu  nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu  hay  khi . Ta còn viết là .

Ví dụ 1 (SGK – tr.64)

Với dãy số  ở , sử dụng định nghĩa, chứng tỏ rằng lim .

Giải

Với số thực dương  bé tuỳ ý cho trước, lấy số tự nhiên  sao cho . Khi đó, với mọi số tự nhiên  sao cho , ta có .

Theo định nghĩa, .

Giới hạn cơ bản:

·  , với  nguyên dương bất kì.

·  , với  là số thực thoả mãn .

Ví dụ 2 (SGK – tr. 65)

Thực hành 1:

a)  vì , với  nguyên dương bất kì.

b)  vì , với  là số thực thoả mãn  trong trường hợp này .

b) Giới hạn hữu hạn của dãy số

HĐKP 2:

a)

b)

Nhận xét: Điểm  càng dần đến điểm 2 khi n trở nên rất lớn.

Kết luận:

Ta nói dãy số  có giới hạn hũu hạn là số  (hay  dần tới  ) khi  dần tới dương vô cực, nếu lim . Khi đó, ta viết  hay  hay  khi .

Chú ý: Nếu  là hằng số) thì .

Ví dụ 3 (SGK – tr.65)

Thực hành 2:

a) , suy ra .

b) , suy ra .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3.

- Từ kết quả của HĐKP 3, hãy dự đoán cho hai dãy số bất kì:  và  có mối quan hệ gì?

- GV giới thiệu một số phép toán về giới hạn hữu hạn. Nhấn mạnh: chúng ta thường sử dụng các phép toán để tính giới hạn dãy số.

+ Chú ý điều kiện khi tính giới hạn ; .

- HS tìm hiểu Ví dụ 4. GV hướng dẫn:

+ Để đưa về các giới hạn cơ bản, chúng ta có thể chia cả tử và mẫu cho , với k là bậc cao nhất của n.

 + b) Thực hiện phép biến đổi, để viết cả tử và mẫu dưới dạng căn. Khi đó xác định bậc cao nhất của tử và mẫu là bao nhiêu?

(Bậc cao nhất trong căn là

Từ đó thực hiện phép chia, rồi tính giới hạn.

- Áp dụng HS làm Thực hành 3.

+ Xác định bậc cao nhất của tử và mẫu, thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho  thích hợp.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm:

+ Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số.

+ Với dạng phân thức , ta thường thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho với k là bậc cao nhất của n.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

HĐKP 3:

a)

b) .

Kết luận

Cho  và  là hằng số. Khi đó:

·   

·   

·   

·   

·   

·      Nếu  thi  và

Ví dụ 4 (SGK – tr.66)

Thực hành 3:

a) ;

b) .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm 4 theo phương pháp khăn trải bản, thực hiện HĐKP 4.

+ a) Viết các diện tích , rồi xác định công thức tổng quát của .

+ b)  là cấp số nhân, hãy xác định công bội và số hạng đầu, từ đó tính tổng S_n.

+ c) Tính giới hạn và so sánh.

- GV giới thiệu: dãy số  trong HĐKP 4 là một cấp số nhân lùi vô hạn, sử dụng giới hạn có thể tính tổng của của cấp số nhân này.

+ Hãy tổng quát cấp số nhân vô hạn   như thế nào là cấp số nhân lùi vô hạn?

(khi công bội ).

+ Viết tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân đó.

+ Xác định giới hạn từ đó tính

( ).

 Giới hạn trên được gọi là tổng của cấp số nhân   

- HS phát biểu khái quát lại thế nào là cấp số nhân lùi vô hạn và tổng của cấp số nhân này.

- HS đọc hiểu Ví dụ 5, Ví dụ 6

+ Hãy xác định công bội, số hạng đầu của cấp số nhân. Từ đó tính tổng theo công thức.

+ Chú ý về dấu + và – của tổng.

- HS thực hiện Thực hành 4.

- HS thảo luận nhóm đôi, thực hiện Vận dụng 1. GV gợi mở:

+ Tính diện tích của hình tròn ở hình a. Tính tổng diện tích của hai hình tròn vàng hình b. Tính tổng diện tích 4 hình tròn xanh hình c.

(Hình a: , Hình b: Hình c: ).

+ Từ đó dự đoán về dạng tổng quát của, phát hiện cấp số nhân lùi vô hạn.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lại kiến thức:

+ Cấp số nhân lùi vô hạn.

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

HĐKP 4:

a) ,

b)

c) .

Giới hạn này bằng diện tich của hình vuông ban đầu.

Kết luận:

Cấp số nhân vô hạn  có công bội  thoả mãn  được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lủi vô hạn này có tổng là

Ví dụ 5 (SGK – tr.67)

Ví dụ 6 (SGK – tr.68)

Thực hành 4:

Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu  và công bội

.

Vận dụng 1:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 5.

+ Xác định công thức tính diện tích hình vuông ở bước thứ n?

( )

+ Từ đó tìm n thỏa mãn đề bài.

- GV giới thiệu: ta nói dãy  có giới hạn là khi . Vì với mọi số dương bất kì, ta có  sẽ lớn hơn số dương đó kể từ số hạng nào đó trở đi. Hay  càng tiến đến  khi n càng tăng lên.

- HS khái quát thế nào là dãy số có giới hạn    GV giới thiệu về dãy số có giới hạn  -  được định nghĩa thông qua dãy có giới hạn  .

- GV đặt câu hỏi:

+ Nếu  thì  bằng bao nhiêu? Và ngược lại nếu  thì  bằng bao nhiêu?

+ Gv giới thiệu một số tính chất về giới hạn vô cực. Chú ý điều kiện: khi dùng ý c. Yêu cầu HS lấy ví dụ.

(Ví dụ: Cho

+  thì

+ Ta có:  thì .

Cho

 thì .

- HS đọc hiểu Ví dụ 7, trình bày, giải thích cách làm.

- GV đưa ra một số nhận xét, là các giới hạn của dãy số cơ bản.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

4. Giới hạn vô cực

HĐKP 5:

a)

;

.

b) . Vậy với những số tự nhiên  thi .

Kết luận:

+ Ta nói dãy số  có giới hạn là  khi nếu  lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, ki hiệu  hay  khi .

+ Ta nói dãy số  có giói hạn là  khi  nếu , kí hiệu  hay  khi .

Chú ý: Ta có các kết quả sau:

a)  khi và chỉ khi   ;

b) Nếu  hoặc

thì

c) Nếu  và  với mọi n thì .

Ví dụ 7 (SGK – tr.69)

Nhận xét:

a) ;

b) .

1

2

3

4

5

C

C

B

C

B