Giáo án chuyên đề toán 11 chân trời sáng tạo
Giáo án giảng dạy theo bộ sách chuyên đề học tập toán 11 bộ sách chân trời sáng tạo với cuộc sống. Bộ giáo án giúp giáo viên hướng dẫn học sinh mở rộng kiến thức toán phổ thông, phát triển năng lực, nâng cao khả năng định hướng nghệ nghiệp cho các em sau này. Thao tác tải về rất đơn giản, tài liệu file word có thể chỉnh sửa dễ dàng, mời quý thầy cô tham khảo bài demo.
Bản xem trước: Giáo án chuyên đề toán 11 chân trời sáng tạo
Một số tài liệu quan tâm khác
Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
CHUYÊN ĐỀ 2: LÍ THUYẾT ĐỒ THỊBÀI 1: ĐỒ THỊ
- MỤC TIÊU:
- Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
- Nhận biết được một số khái niệm cơ bản: đồ thị, đỉnh, cạnh, bậc của đỉnh.
- Năng lực
Năng lực chung:
- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
Năng lực riêng:
- Rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua việc mô hình hóa những vấn đề thực tế liên quan bằng đồ thị.
- Rèn luyện năng lực giao tiếp toán học.
- Phẩm chất
- Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.
- THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
- Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
- HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
- a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
- b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
- c) Sản phẩm: HS đưa ra được nhận định ban đầu về câu hỏi mở đầu.
- d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:
Bảng 1 cho biết đường bay (hai chiều) giữa sáu thành phố A, B, C, D, E và F của hãng hàng không X. Nếu dùng điểm để biểu thị thành phố, đoạn đường cong hoặc đường thẳng để biểu thị đường bay giữa các thành phố thì ta được sơ đồ như Hình 1.
Có người thắc mắc: “Từ thành phố A, có thể đến thăm năm thành phố B, C, D, E và F bằng các chuyến bay của hãng X sao cho mỗi thành phố chỉ qua đúng một lần, rồi quảy trở về A không?”.
Để giải đáp thắc mắc trên, nên dùng Bảng 1 hay sơ đồ ở Hình 1? Tại sao?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: “Những kiến thức ban đầu về lí thuyết đồ thị trong bài học này sẽ giúp chúng ta tìm được câu trả lời cho tình huống trên”.
Bài mới: Bài 1: Đồ thị
- HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Đồ thị
- a) Mục tiêu:
- Nhận biết được khái niệm đồ thị, đỉnh, cạnh.
- Vận dụng khái niệm vào các bài toán thực tế.
- b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động HĐKP 1, Ví dụ 1, 2, Thực hành 1, Vận dụng 1.
- c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS xác định các đỉnh, cạnh, đỉnh kề nhau, đỉnh cô lập, vận dụng đồ thị giải quyết bài toán thực tế.
- d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS | SẢN PHẨM DỰ KIẾN |
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: - GV cho HS thảo luận hoàn thành HĐKP 1. + ý c có thể có nhiều cách đi. HS có thể nêu nhiều phương án.
- Từ đó GV giới thiệu về đồ thị là tập hợp các điểm và các cạnh của đồ thị. - GV nhấn mạnh: bản chất của đồ thị là có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh, đỉnh nào được nối với đỉnh nào.
- GV giới thiệu về cách kí hiệu các đỉnh, các cạnh của đồ thị. + Lưu ý: hai đầu mút có thể tạo ra nhiều cạnh khác nhau.
- GV giới thiệu về hai đỉnh kề nhau và đỉnh cô lập. - HS nêu ví dụ hai đỉnh kề nhau, đỉnh cô lập của hình 2. (Ví dụ: hai đỉnh kề nhau là A và B, B và D, C và F,… Đỉnh cô lập: E) - GV giới thiệu về hình có khuyên - GV đặt câu hỏi: + Quan sát hình sau, nhận xét có khuyên nào không? Trong hình 2 có hai đỉnh nào được nối với nhau bằng nhiều hơn một cạnh không? (Hình 1 không có khuyên, không có hai đỉnh nào được nối với nhau nhiều hơn một cạnh). - Từ đó GV giới thiệu về đơn đồ thị và đa đồ thị. Ví dụ về đa đồ thị: Hình 2
- HS đọc Ví dụ 1, trình bày về: + chỉ ra các cạnh, các đỉnh, số cạnh, số đỉnh. + Chỉ ra đỉnh kề đỉnh A. + GV có thể yêu cầu kể thêm đỉnh kề đỉnh B, C,… + Chỉ ra đỉnh cô lập. - HS đọc Ví dụ 2. GV yêu cầu HS biểu diễn bài toán bằng đồ thị. + b) Số lần bắt tay có mối quan hệ gì với đỉnh hoặc số cạnh của đồ thị không? (Số lần bắt tay bằng số cạnh của đồ thị vì hai người đã quen thì nối với nhau bởi 1 cạnh và hai người quen thì bắt tay). - HS thực hiện Thực hành 1, lên bảng trình bày. - HS làm Vận dụng 1 theo nhóm đôi, vẽ đồ thị biểu diễn sự kết nối giữa các máy tính theo bảng đã cho. Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: - HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm. - GV quan sát hỗ trợ. Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày - Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở. | 1. Đồ thị HĐKP 1: a) Hãng X có 4 đường thẳng bay đến 5 thành phố còn lại. b) Giữa 6 thành phố có tất cả 11 đường bay của hãng X. c) Có thể bay từ A đến 5 thành phố còn sao cho mỗi thành phố chỉ qua đúng một lần rồi quay trở về A. (Ví dụ đường đi: A – D – C – B – F – E). Kết luận: Một đồ thị G là một tập hợp gồm hữu hạn các điểm, gọi là đỉnh của đồ thị, cùng với tập hợp các đoạn đường cong hoặc thẳng có các đầu mút là các đỉnh của đồ thị, gọi là cạnh của đồ thị. Ví dụ: Các đỉnh: A, B, C,… Các cạnh: AB (hoặc BA), a, b. Hai cạnh a và b có chung đầu mút B và D. Kết luận Hai đỉnh của đồ thị gọi là kề nhau (còn gọi đỉnh này kề với đỉnh kia) nếu chúng là hai đầu mút của một cạnh. Một đỉnh không kề với đỉnh nào (kể cả chính nó) gọi là đỉnh cô lập. Nhận xét: a) Hai đầu mút của 1 cạnh có thể trùng nhau, cạnh đó gọi là khuyên. Ví dụ: hai khuyên a và b. b) Một đồ thị không có khuyên, trong đó hai đỉnh bất kì là đầu mút của nhiều nhất một cạnh gọi là một đơn đồ thị. Ví dụ: c) Một đồ thị không có khuyên, trong đó hai đỉnh có thể nối với nhau bằng nhiều cạnh gọi là một đa đồ thị. Ví dụ:
Ví dụ 1 (SGK – tr.45) Ví dụ 2 (SGK – tr45)
Thực hành 1 a) Các đỉnh: A, B, C, D, E, F. Các cạnh: AE, AD, AC, ED, DB, DC, CF, a, b, c. Số đỉnh: 6. Số cạnh: 10. b) Các đỉnh kề đỉnh D: A, E, B, C. Các đỉnh kề đỉnh B: D, C. c) G không có đỉnh cô lập. Vận dụng 1: |
Hoạt động 2: Bậc của đỉnh
- a) Mục tiêu:
- HS nhận biết khái niệm bậc của đỉnh.
- HS phát biểu được định lí về tổng số bậc của đỉnh.
- HS vận dụng khái niệm đồ thị và bậc của đỉnh, định lí vào giải quyết vấn đề toán học.
- b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý nghe giảng, thực hiện các hoạt động HĐKP 2, Ví dụ 3, 4, 5, Thực hành 2, Vận dụng 2.
- c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS xác định được bậc của đỉnh, vận dụng Định lí bắt tay giải quyết bài toán.
- d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS | SẢN PHẨM DỰ KIẾN |
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: - GV yêu cầu HS đọc và hoàn thành HĐKP 2. + Xác định số cổng chào của các làng? (Làng A: 3 cổng, B - 5, C – 2, D – 3, E – 3). + Từ đó trả lời câu hỏi a. + Tính tổng số cổng chào. - GV giới thiệu: trong đồ thị mỗi đỉnh sẽ có số cạnh tương ứng, đó gọi là bậc của đỉnh. + GV giới thiệu về đỉnh bậc chẵn, đỉnh bậc lẻ, đỉnh cô lập có bậc 0.
- HS đọc Ví dụ 3, xác định bậc của các đỉnh ở đồ thị. + Tìm số cạnh và tổng các bậc. - GV cho HS quan sát tìm điểm đặc biệt giữa số cạnh và tổng các bậc của đỉnh trong đồ thị. (Tổng các bậc gấp đôi số cạnh). - GV có thể yêu cầu HS giải thích hoặc đặt câu hỏi gợi mở thêm: + Nếu đồ thị có cạnh AB thì để tính số bậc của đỉnh A và B ta đã tính mấy lần cạnh AB? - Từ đó rút ra nhận xét về tổng số bậc của đỉnh và tổng số cạnh. + Như vậy tổng số bậc của đỉnh là số chẵn hay số lẻ? Ta có định lí về tổng số bậc của một đồ thị. - GV cho HS thảo luận, suy nghĩ chứng minh nhận xét: số đỉnh bậc lẻ của mọi đồ thị là số chẵn. (Gợi ý: tổng các bậc là số chẵn, mà tổng các bậc của các đỉnh bậc chẵn là số chẵn. Nên tổng các bậc của các đỉnh bậc lẻ cũng phải là số chẵn. Để tổng bậc các đỉnh bậc lẻ là số chẵn thì số đỉnh phải là số chẵn). - HS đọc, trình bày lại Ví dụ 4, ví dụ 5, áp dụng định lí về tổng số bậc của các đỉnh để xét xem số liệu đã cho có thể xác định được đồ thị không. - HS thực hiện Thực hành 2. + chỉ ra bậc của đỉnh, tổng số bậc. - HS làm Vận dụng 2 theo nhóm đôi, vận dụng định lí đã học để xét xem tổng số bậc của bài toán có thỏa mãn yêu cầu không. Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: - HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu. - GV: quan sát và trợ giúp HS. Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày - Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở. | 2. Bậc của đỉnh HĐKP 2: Làng C có ít cổng chào nhất. Làng B có nhiều cổng chào nhất. b) Năm ngôi làng có 16 cổng chào. Kết luận: Giả sử A là đỉnh của một đồ thị. Số cạnh của đồ thị có A là đầu mút gọi là bậc của A, kí hiệu Chú ý: 1) Đỉnh có bậc là một số chẵn còn được gọi là đỉnh bậc chẵn, đỉnh có bậc là một số lẻ còn được gọi là đỉnh bậc lẻ. 2) Đỉnh cô lập có bậc bằng 0. Ví dụ 3 (SGK – tr.47) Trong đồ thị G: d(A) = 2, d(B) = 3, … Trong đồ thị H: d(A) = 4, d(B) = 5,… Đồ thị G có 5 đỉnh. Tổng các bậc của các đỉnh của G là: 10. Đồ thị H có 9 cạnh. Tổng các bậc của các đỉnh của H là: 18. Nhận xét: Trong mọi đồ thị, mỗi cạnh đều có hai đỉnh đầu mút. Như vậy, mỗi cạnh đóng góp 2 đơn vị vào tổng các bậc của tất cả các đỉnh của đồ thị. Định lí: Trong một đồ thị, tổng tất cả bậc của các đỉnh là một số chẵn và bằng hai lần số cạnh của đồ thị. Nhận xét: Số đỉnh bậc lẻ của mọi đồ thị là một số chẵn. Ví dụ 4 (SGK – tr.48) Ví dụ 5 (SGK – tr.48) Đồ thị trên có 6 đỉnh, 7 cạnh, các đỉnh đều bậc lẻ. Thực hành 2: a) Tổng của các bậc của các đỉnh: 20. b) Các đỉnh kề đỉnh B: A, D, C. Số đỉnh này không bằng bậc của đỉnh B. Vận dụng 2: Giả sử tồn tại một đồ thị có ba đỉnh, trong đó hai đỉnh có bậc bằng 2 và một đỉnh có bậc bằng 3. Tổng tất cả các bậc của các đỉnh là: 2 + 2 + 3 = 7. Vô lí vì tổng tất cả các bậc của đỉnh là một số chẵn. Vậy không tồn tại đồ thị theo yêu cầu đề bài. |
- HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
- a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
- b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 1, 2, 3, 4 (SGK – tr.48+49).
- c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS. HS xác định được đỉnh, cạnh, số đỉnh, số cạnh, bậc của đỉnh.
- d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện Bài 1, 2, 3, 4 (SGK – tr.48+49).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
Kết quả:
Bài 1.
- a) Các đỉnh: A, B, C, D.
Các cạnh: AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Số đỉnh: 4.
Số cạnh: 6.
- b) Các đỉnh: A, B, C, D, E, F.
Các cạnh: m, n, AC, AD, BC, CD, CE, DF, EF.
Số đỉnh: 6.
Số cạnh: 9.
Bài 2.
- a)
- b) Đỉnh bậc lẻ: B, C, D.
- c) Tổng tất cả các bậc của các đỉnh: 16.
Bài 3.
Tổng tất cả các bậc của các đỉnh: 2 + 3 + 4 + 3 = 12.
Số cạnh của đồ thị là: 12 : 2 = 6.
Bài 4.
Gọi số đỉnh có bậc 2 của đồ thị là:
Suy ra số đỉnh có bậc 4 của đồ thị là:
Vì số cạnh của đồ thị là 8, nên tổng tất cả bậc của các đỉnh là 8.2 = 16.
Ta có phương trình:
Tức là
Vậy đồ thị có số đỉnh bậc 4 là: 2.
- HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
- a) Mục tiêu:
- Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
- b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập 5, 6 (SGK – tr.49) và bài tập thêm.
Bài 1. Cho lịch bay mỗi ngày như sau :
- Từ TP.HCM: có một chuyến đến Hà Nội, một chuyến đến Đà Nẵng, một chuyến đến Phú Quốc, một chuyến đến Nghệ An, một chuyến đến Hải Phòng;
- Từ Hà Nội: có một chuyến đến TP.HCM, một chuyến đến Đà Nẵng, một chuyến đến Nghệ An, một chuyến đến Hải Phòng;
- Từ Đà Nẵng: có một chuyến đến Hải Phòng, một chuyến bay đến TP.HCM; một chuyến đến Hà Nội;
- Từ Nghệ An: có một chuyến đến Hà Nội, một chuyến đến TP.HCM;
- Từ Hải Phòng: có một chuyến đến Hà Nội, một chuyến đến TP.HCM, và một chuyến đến Đà Nẵng;
- Từ Phú Quốc: có một chuyến đến TP.HCM.
- a) Vẽ đồ thị biểu diễn các thành phố có chuyến bay giữa chúng.
- b) Vẽ đồ thị biểu diễn các thành phố có chuyến bay giữa chúng, cộng với một khuyên biểu thị chuyến du lịch đặc biệt ngắm cạnh thành phố, cất và hạ cánh tại Phú Quốc.
Bài 2.
Trước khi vào một hội nghị, các đại biểu bắt tay nhau (hai người bắt tay nhau nhiều nhất 1 lần). Có một đại biểu không bắt tay ai hết và thấy rằng có 4 người bắt tay 4 lần, 5 người bắt tay 5 lần và 6 người bắt tay 6 lần. Nếu hội nghị có đúng 16 đại biểu thì ông ta đã đếm nhầm. Giải thích vì sao?
Bài 3. (Vận dụng cao)
Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗi đội phải đấu một trận với các đội khác. Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu được một số trận như nhau.
- c) Sản phẩm: Kết quả thực hiện các bài tập.
- d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập 5, 6 (SGK – tr.49) và bài tập thêm.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
- Bài tập: đại diện HS trình bày kết quả, các HS khác theo dõi, đưa ý kiến.
Bước 4: Kết luận, nhận định
- GV nhận xét, đánh giá, đưa ra đáp án đúng, chú ý các lỗi sai của học sinh hay mắc phải.
Gợi ý đáp án:
Bài 5.
Gọi các đỉnh thể hiện cho năm bạn học sinh An, Bình, Mai, Quang, Xuân lần lượt là A, B, M, Q, X.
Bài 6.
Đáp án bài thêm :
Bài 1.
a)
- b)
Bìa 2.
Vẽ một đồ thị với 16 đỉnh tương ứng với 16 đại biểu tham dự hội nghị. Nếu hai đại biểu nào bắt tay nhau thì ta nối hai đỉnh tương ứng bằng một cạnh.
Theo số liệu : ta có một đồ thị có 16 đỉnh, trong đó có 1 đỉnh bậc 0, 4 đỉnh bậc 4, 5 đỉnh bậc 5 và 6 đỉnh bậc 6.
Số đỉnh bậc 5 là 5, là một số lẻ, Mâu thuẫn với hệ quả của định lí đã được học.
Vậy đại biểu đã đếm sai.
Bài 3.
Ta chuyển qua bài toán về đồ thị: Cho tương ứng mỗi đội bóng với một đỉnh của đồ thị; khi hai đội đã đấu với nhau thì ta nối hai đỉnh tương ứng bằng một cạnh; bậc của mỗi đỉnh bằng số trận mà đội tương ứng đã thi đấu. Ta phải giải bài toán sau:
Cho đồ thị với 10 đỉnh. Chứng minh rằng bao giờ cũng có hai đỉnh có cùng bậc.
Thật vậy, trong một đồ thị có 10 đỉnh, không thể có đồng thời một đỉnh (A chẳng hạn) bậc 0 và một đỉnh (B chẳng hạn) bậc 9. Bởi vì nếu B có bậc 9 thì B là đầu mút của 9 cạnh nối B với 9 đỉnh còn lại, trong đó có A, do đó A không thể có bậc 0;
Ngược lại, nếu A có bậc 0 thì B nhiều lắm cũng chỉ có bậc 8. Có 10 đỉnh, mà mỗi đỉnh chỉ có thể có một trong 9 bậc (từ 0 đến 8, hoặc từ 1 đến 9), vì vậy theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai đỉnh có cùng bậc (điều phải chứng minh).
(Nguyên lí Dirichlet: Giả sử có một đàn chim bồ câu bay vào chuồng. Nếu số chim nhiều hơn số ngăn chuồng thì chắc chắn có ít nhất một ngăn có nhiều hơn một con chim.
Nếu đưa n vật thể vào m chuồng bồ câu với n > m, thì luôn có ít nhất 1 chuồng bồ câu sẽ có nhiều hơn 1 vật thể).
* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Ghi nhớ kiến thức trong bài.
- Hoàn thành các bài tập trong SBT
- Chuẩn bị bài mới: “Đường đi Euler và đường đi Hamilton”.
MỘT VÀI THÔNG TIN
- Giáo án bản word, dễ dàng chỉnh sửa nếu muốn
- Font chữ: Time New Roman, trình bày rõ ràng, khoa học.
- Giáo án có đủ các chuyên đề, đủ cả năm
PHÍ GIÁO ÁN:
- Phí giáo án: 350k
=> Khi đặt, nhận đủ giáo án cả năm ngay và luôn
CÁCH ĐẶT:
- Bước 1: gửi phí vào tk: 10711017 - Chu Văn Trí - Ngân hàng ACB (QR)
- Bước 2: Nhắn tin tới Zalo Fidutech - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án
=> Giáo án toán 11 chân trời sáng tạo
Từ khóa: giáo án chuyên đề học tập toán 11 sách chân trời sáng tạo với cuộc sống, giáo án chuyên đề toán 11 kết nối, giáo án toán chuyên đề 11 sách KNTTGiáo án lớp 11 mới cánh diều, kết nối, chân trời
GIÁO ÁN WORD LỚP 11 KẾT NỐI TRI THỨC
GIÁO ÁN POWERPOINT LỚP 11 KẾT NỐI TRI THỨC
GIÁO ÁN CHUYÊN ĐỀ LỚP 11 KẾT NỐI TRI THỨC
GIÁO ÁN DẠY THÊM 11 KẾT NỐI TRI THỨC
CÁCH ĐẶT MUA:
Liên hệ Zalo: Fidutech - nhấn vào đây