Giáo án NLS chuyên đề Toán 11 Bài 11: Hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS quan sát Hình 3.2 và yêu cầu HS nhắc lại những phép chiếu đã được học.

+ GV có thể gợi ý: Hình a) là phép chiếu song song; Hình b) là phép chiếu vuông góc; Hình c) là phép chiếu xuyên tâm.

+ GV yêu cầu HS nhắc về khái niệm của ba hình chiếu vừa nói trên.

- GV trình chiếu kiến thức trong khung kiến thức trọng tâm và giảng giải cho HS nắm được hình biểu diễn của một hình, khối.

- Trong hình a) và b) GV cần giảng giải và chỉ cho HS thấy sự khác biệt cơ bản của hai loại hình chiếu song song và vuông góc: “Hình chiếu vuông góc thường có phương chiếu song song với một chiều nào đó của vật thể, trong khi hình chiếu trục đo thì không; Hình chiếu trục đo thể hiện được nhiều mặt của vật thể hơn”.

- GV cho HS quan sát Hình 3.3 và hướng dẫn cho HS thực hiện yêu cầu của Ví dụ 1 theo hướng dẫn trong SGK.

+ HS nhận biết được ở hình a) là hình chiếu vuông góc; Hình b) và c) là hình chiếu trục đo.

- HS quan sát Hình 3.4 và thực hiện yêu cầu của Luyện tập 1.

+ GV chỉ định một số HS đứng tại chỗ nêu đáp án.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV hướng dẫn HS sử dụng phần mềm GeoGebra mở giao diện 3D, tạo một hình tứ diện và thực hành dựng các phép chiếu song song lên mặt phẳng để trực quan hóa hình chiếu.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- HS sử dụng phần mềm GeoGebra vẽ hình theo hướng dẫn của GV.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Hình biểu diễn của một hình, khối

HĐ1

Hình 3.2a sử dụng phép chiếu song song. Phép chiếu song song là phép chiếu có các tia chiếu song song với nhau nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2b sử dụng phép chiếu vuông góc. Phép chiếu vuông góc là phép chiếu có các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2c sử dụng phép chiếu xuyên tâm. Phép chiếu xuyên tâm là phép chiếu có các tia chiếu xuất phát tại một điểm (điểm này gọi là tâm chiếu).

Ghi nhớ

Hình biểu diễn   của một hình, khối trong không gian là hình chiếu của lên một mặt phẳng qua một phép chiếu.

- Nếu phép chiếu là phép chiếu vuông góc thì được gọi là hình chiếu vuông góc của

- Nếu phép chiếu là phép chiếu song song (nhưng không là phép chiếu vuông góc) thì được gọi là hình chiếu trục đo của .

Ví dụ 1: SGK – tr. 53

Hướng dẫn giải: SGK – tr.53

Luyện tập 1.

Hình thể hiện hình chiếu trục đo là: a) và c).

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ3 và hướng dẫn cho HS thực hiện các yêu cầu của HĐ.

+   ý a) Trên gọi là hình chiếu vuông góc của và và

+ Khi đó hãy so sánh: độ dài của và ; và ; có vuông góc với không?

+ ý b) GV cho HS quan sát hình a) và mô tả khi quay mặt phẳng ra phía trước đến khi vuông góc với khi đó đường thẳng qua và vuông góc với và đường thẳng qua vuông góc với cắt nhau tại .

- GV trình chiếu hoặc ghi bảng kiến thức trong khung kiến thức trọng tâm cho HS.

- GV gợi ý cho HS sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc với để xác định được đáp án đúng trong Ví dụ 4.

- HS thực hiện Luyện tập 4 với bạn cùng bàn.

+ Sau thảo luận, GV chỉ định 1 HS trình bày đáp án và giải thích.

+ Các HS còn lại nhận xét câu trả lời.

+ GV chốt đáp án và lưu ý cho HS: Ngoài việc sử dụng tính chất vuông góc với , ta còn cần sử dụng thêm tính chất nằm về hai phía của .

- GV triển khai HĐ4 và cho HS thực hiện yêu cầu.

+ ý a) Để chứng minh vuông góc với , HS xem lại HĐ3 và nêu lại cách thực hiện.

HS nhận thấy được hình là hình hộp chữ nhật. Từ đó sẽ chứng minh được: Khoảng cách từ đến bằng khoảng cách từ đến .

+ ý b) HS nêu cách xác định điểm khi biết hai điểm và .

- Từ kết quả của HĐ, GV trình chiếu hoặc ghi bảng nội dung trong khung kiến thức trọng tâm cho HS.

- GV cho HS thực hiện tìm hiểu Ví dụ 5 theo hướng dẫn của SGK.

+ GV nhấn mạnh: Để xác định hình chiếu của một đoạn thẳng thì chỉ cần xác định hình chiếu của hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

- GV yêu cầu HS thực hiện cá nhân phần Luyện tập 5

+ Sau đó GV chỉ định 1 HS nêu cách xác định và lên thao tác trực tiếp với phần mềm GeoGebra và vẽ hình chiếu bằng của đoạn thẳng .

+ HS dưới lớp quan sát, nhận xét hai bài làm của bạn.

+ GV chữa bài chi tiết và chốt đáp án.

- HS thảo luận nhóm 3 – 4 HS thực hiện Vận dụng 2

+ Các nhóm thảo luận đưa ra ý kiến cuối cùng.

+ GV chỉ định một số HS nêu đáp án của nhóm mình.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- HS sử dụng phần mềm GeoGebra vẽ hình chiếu bằng.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

3. Mối liên hệ giữa ba hình chiếu vuông góc

HĐ3

a) Gọi là hình chiếu vuông góc của (và ) trên thì vuông góc với tại ; và .

Ngoài ra nằm về hai phía của (do ta chỉ xét phương pháp chiếu góc thứ nhất).

b) Để nhận biết được điểm , quay mặt phẳng đến khi vuông góc với và ở “phía trước” . Khi đó đường thẳng qua và vuông góc với và đường thẳng qua vuông góc với cắt nhau tại .

Ghi nhớ

Một điểm trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết hai hình chiếu của điểm đó. Vì vậy, một vật thể hoàn toàn được xác định nếu biết hai hình chiếu của mỗi điểm thuộc vật thể đó.

Ví dụ 4: SGK – tr.57

Hướng dẫn giải: SGK – tr.57

Luyện tập 4

Hình thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm trong không gian là:

HĐ4

a) Kí hiệu các điểm như trong Hình 3.14a 

khi đó đường thẳng vuông góc với tại , khoảng cách từ đến bằng và do đó bằng khoảng cách từ đến .

b) Qua vẽ đường thẳng vuông góc với tại . Trên tia đối của tia   lấy điểm sao cho bằng khoảng cách từ đến . Điểm xác định và duy nhất.

Ghi nhớ

Trong mặt phẳng  , một trong ba điểm hoàn toàn được xác định nếu biết hai điểm còn lại.

Ví dụ 5: SGK – tr.58

Hướng dẫn giải: SGK – tr.58

Luyện tập 5

Hình chiếu bằng của đoạn thẳng có hai đầu mút là hình chiếu bằng của và hình chiếu bằng của .

Để xác định ta làm như sau:

+ Qua điểm vẽ đường thẳng vuông góc với tại và trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .

+ Vẽ đường thẳng qua vuông góc với vẽ đường thẳng qua vuông góc với , hai đường thẳng này cắt nhau tại .

- Tương tự xác định

+ Nối và ta nhận được hình chiếu bằng của đoạn thẳng .

Vận dụng 2

Theo khung kiến thức sau HĐ4, đối với các vật thể đơn giản thì từ hai hình chiếu của vật thể đó ta có thể xác định được hình chiếu còn lại của vật thể. Vì vậy một số bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai hình chiếu vuông góc của vật thể mà không thể hiện cả ba hình chiếu.

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triền khai và hướng dẫn cách chi tiết đơn giản hóa vấn đề trong HĐ7 cho HS tiếp thu được nội dung truyền tải.

a) HS chứng minh để suy ra   và . Từ đó suy ra được đều.

b) HS chứng minh để suy ra  , tương tự để suy ra  //. 

c) Chứng minh . Vậy là hình gì?

Từ đó suy ra số đo và tương tự với các góc còn lại.

- GV giải thích rằng H.3.23a thể hiện tất cả các đặc trưng của hình chiếu trục đo vuông góc đều. Trong trường hợp tổng quát, mặt phẳng không nhất thiết phải đi qua . Tuy nhiên các tính chất vừa chứng minh vẫn đúng trong trường hợp đó.

GV phát biểu định nghĩa về hình chiếu trục đo như trong SGK.

- GV triển khai phần Câu hỏi và phân tích hình ảnh về mô hình phòng khách trong SGK và chỉ cho HS thấy ba trục đo đôi một tạo với nhau góc .

Từ đó HS biết được phương pháp xác định một hình cho trước có phải là hình chiếu trục đo vuông góc đều hay không.

- GV giảng: Hệ số biến dạng trên mỗi trục đều bằng côsin của góc tạo bởi mỗi trục với mặt phẳng chiếu. 

Để thuận tiện người ta quy ước hệ số biến dạng bằng 1.

- HS thực hiện Ví dụ 8 và trình bày lại cách thực hiện theo gợi ý trong SGK.

+ HS cần chú ý tới hai yếu tố: Góc giữa các trục đo và hệ số iến dạng trên mỗi trục. Tuy nhiên để phân biệt hai loại hình chiếu trục đo HS chỉ cần quan tâm đến một trong hai yếu tố trên.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi với bạn cùng bàn thực hiện Luyện tập 8 

…………………………………………..

…………………………………………..

…………………………………………..

4. Hình chiếu trục đo (tiếp)

HĐ7

a) và vuông cân có chung cạnh góc vuông nên . 

Suy ra .

Tương tự nên là tam giác đều.

b) (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó . 

Tương tự => // .

c) Vì là tâm nên có thể chứng minh được vuông góc với và do đó vuông góc với . Khi đó là hình lăng trụ đứng.

=> .

Tương tự ta chứng minh được: .

Ghi nhớ

Trong hình chiếu trục đo vuông góc đều có:

+ Mặt phẳng chiếu vuông góc với phương chiếu

+ Các góc trục đo đều bằng (H.3.23b)

+ Các hệ số biến dạng đều bằng 1.

Câu hỏi

Hình màu cam trong Hình 3.1 là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.

Nhận xét

Ở HĐ7, ta có thể chứng minh được .

Để thuận tiện cho việc tính toán và vẽ hình, ta thường quy ước các hệ số biến dạng bằng 1.

Ví dụ 8: SGK – tr.63

Hướng dẫn giải: SGK – tr.64

Luyện tập 8

…………………………………………..

…………………………………………..

…………………………………………..