Nội dung chính Toán 12 kết nối Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Phương trình đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của song song hoặc trùng với .

Chú ý:

• Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương. 

• Nếu là một vectơ chỉ phương của thì (với là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của .

b) Phương trình tham số của đường thẳng.

Trong không gian , cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Hệ phương trình

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng là tham số, .

Chú ý:

• Với các số không đồng thời bằng 0, hệ phương trình xác định một đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

• Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian , cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương với là các số khác 0.

Hệ phương trình:

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong kông gian, cho hai điểm phân biệt và . Đường thẳng có vectơ chỉ phương .

• Đường thẳng có phương trình tham số là: ( .

• Trong trường hợp thì đường thẳng có phương trình chính tắc là:

2. Hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian , cho hai đường thẳng tương ứng có vectơ chỉ phương . Khi đó:

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian , cho hai đường thẳng lần lượt đi qua các điểm ,
và tương ứng có vectơ chỉ phương . Khi đó:

• cùng phương với và .

• cùng phương với và .

• và cắt nhau

• và chéo nhau

Chú ý:

Để xét vị tri tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và phương trình của hai đường thẳng đó theo tiêu chuẩn sau đây.

Trong không gian , cho hai đường thẳng tương ứng có vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:

Xét hệ phương trình hai ẩn :

Khi đó:

• cùng phương với và hệ (*) vô nghiệm.

• Hệ (*) có vô số nghiệm.

• cắt Hệ (*) có nghiệm duy nhất.

• và chéo nhau và không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.