Giáo án Toán 12 kết nối Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu trả lời HĐ 1.

- GV giới thiệu khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

- Cho một điểm A và một vectơ có bao nhiêu đường thẳng đi qua A và nhận làm vectơ chỉ phương?

- Mối quan hệ giữa các vectơ chỉ phương của một đường thẳng.

- HS quan sát hình trả lời Ví dụ 1, Luyện tập 1.

- HS thực hiện HĐ 2

b) Nêu mối quan hệ giữa hai vectơ từ đó trả lời câu hỏi của bài toán.

- GV dẫn dắt HS khái quát về phương trình tham số của đường thẳng.

- GV nêu một số chú ý.

+ nhấn mạnh: ứng với mỗi một giá trị của t ta có một điểm tương ứng thuộc đường thẳng và ngược lại

- HS quan sát Ví dụ 2, làm Luyện tập 2.

+ Chọn giá trị , từ đó chỉ ra điểm thuộc đường thẳng và

+ Chỉ ra 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng

+ Viết phương trình đường thẳng biết điểm và vectơ chỉ phương.

- HS thực hiện HĐ 3.

b) thuộc thì ta có phương trình tham số của là gì? Khi đó biến đổi ta được hệ thức theo bài ra.

- GV giới thiệu phương trình chính tắc, HS phát biểu khái quát.

- HS quan sát Ví dụ 3, tương tự thực hiện Luyện tập 3.

+ Luyện tập 3: để chỉ ra điểm thuộc đường thẳng, ta có thể chọn giá trị của x, rồi tìm y, z tương ứng.

- HS quan sát Ví dụ 4, tương tự thực hiện Luyện tập 4: viết phương trình đường thẳng qua điểm và có vectơ chỉ phương cho trước.

- HS quan sát Ví dụ 5, tương tự thực hiện Luyện tập 5: viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc mặt phẳng cho trước.

Lưu ý: nhiều phương trình đường thẳng không có phương trình chính tắc.

- HS thực hiện HĐ4.

- HS nêu tổng quát cách lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

- HS thực hiện Ví dụ 6, Luyện tập 6: viết phương trình qua hai điểm cho trước.

- HS trao đổi, làm Vận dụng 1.

b) Nêu cách tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

c) Nêu cách xác định vị trí giữa ba điểm D, M, N.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Phương trình đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

HĐ 1:

a) Sai

b) Đúng.

Kết luận

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của song song hoặc trùng với .

Chú ý:

• Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương. 

• Nếu là một vectơ chỉ phương của thì (với là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của .

Ví dụ 1 (SGK -tr.41)

Luyện tập 1

Những vectơ chỉ phương của đường thẳng là .

b) Phương trình tham số của đường thẳng.

HĐ 2:

a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là .

b) Ta có

Khi đó ta có cùng phương với
Suy ra

Kết luận

Trong không gian , cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Hệ phương trình

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng là tham số, .

Chú ý:

• Với các số không đồng thời bằng 0, hệ phương trình xác định một đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

• Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ 2 (SGK -tr.42)

Luyện tập 2

a) Ta có là các điểm thuộc .

Có là một vectơ chỉ phương của .
b) Phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là:

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

HĐ 3:

a) Điểm thuộc khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương với nhau. 

b) thuộc khi và chỉ khi
Vì khác 0 nên từ (1), ta có .

Vậy thuộc khi và chỉ khi 
.

Kết luận

Trong không gian , cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương với là các số khác 0.

Hệ phương trình:

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng . 

Ví dụ 3 (SGK-tr.43)

Luyện tập 3

và thuộc và là một vectơ chỉ phương của .

Ví dụ 4 (SGK -tr.43)

Luyện tập 4

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có 

phương trình tham số là:

phương trình chính tắc là:

Ví dụ 5 (SGK -tr.44)

Luyện tập 5

Ta có mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là

Do đó nhận làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng đi qua điểm và làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: .

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

HĐ 4:

a) Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là  =

b) Đường thẳng A₁A₂ có phương trình:

.

Kết luận

Trong kông gian, cho hai điểm phân biệt và . Đường thẳng có vectơ chỉ phương .

• Đường thẳng có phương trình tham số là: ( .

• Trong trường hợp thì đường thẳng có phương trình chính tắc là:

Ví dụ 6 (SGK -tr.44)

Luyện tập 6

Đường thắng AB đi qua điếm và có một vectơ chỉ phương có phương trình là: hay 

(
Vận dụng 1

a) Ta có

Đường thẳng MN đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình là: , (

b) Mặt phẳng có phương trình là .

Vì D là giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ .

Vậy .
c) có nên D nằm giữa M và N.

Trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu

Ta có nên tấm bìa che khuất tầm nhìn.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thực hiên HĐ 5

Hai vectơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng bằng bao nhiêu?

- HS khái quát điều kiện hai đường thẳng vuông góc.

- HS quán sát Ví dụ 7, làm Luyện tập 7: nhận biết hai đường thẳng vuông góc bằng cách tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương.

- HS thực hiện Vận dụng 2: hai con đường thuộc hai đường thẳng, xác định hai đường thẳng đó có vuông góc nhau hay không.

- HS làm HĐ 6.

.................

2. Hai đường thẳng vuông góc

HĐ 5:

a) Hai đường thẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của vuông góc với nhau. 

b)

Theo câu , để và vuông góc với nhau khi và chỉ khi vuông góc với nhau. 

Hay

Vậy để và vuông góc với nhau thì

Kết luận

Trong không gian , cho hai đường thẳng tương ứng có vectơ chỉ phương . Khi đó:

Ví dụ 7 (SGK – tr.45)

Luyện tập 7

Ta có và trục có vectơ chỉ phương là .

Có . Do đó đường thẳng không vuông góc với trục .

Vận dụng 2

Hai con đường thuộc hai đường thẳng lần lượt có VTCP là và

Vì nên hai con đường trên vuông góc với nhau.

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

HĐ 6:

.................