Nội dung chính Toán 12 kết nối Bài 6: Vectơ trong không gian

BÀI 6: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

- Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý. 

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:

- Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là

- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là

- Độ dài của vectơ  được kí hiệu là  độ dài của vectơ a được kí hiệu là

- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (H.2.4).

Khái niệm: 

Các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ  được gọi là bằng nhau, kí hiệu  nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý. 

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chá́t và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:

- Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm M sao cho

- Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như ... gọi là các vecto-không.

- Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0 , cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian, cho hai vectơ  và . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B, C sao cho  Khi đó, vectơ  được gọi là tổng của hai vectơ

và , kí hiệu là

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Chú ý. 

Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau:

- Tính chất giao hoán: Nếuvà là hai vectơ bất kì thì

- Tính chất kết hợp: Nếu  vàlà ba vectơ bất kì thì

- Tính chất cộng với vectơ  : Nếu a là một vectơ bất kì thì

Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ  là  mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian.

Quy tắc hình hộp:

Cho hình hộp . Khi đó, ta có

b) Hiệu của hai vecto trong không gian

Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ  được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là

Chú ý

- Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0 .

- Vectơ  là một vectơ đối của vectơ

- Vectơ  được coi là vectơ đối của chính nó.

Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian:

Vectơ  được gọi là hiệu của hai vectơ và  và kí hiệu là

Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian, tích của một số thực  với một vectơlà một vectơ, kí hiệu là được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ  nếu  ngược hướng với vectơ  nếu

- Có độ dài bằng

Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Chú ý:

- Quy ước  nếu  hoặc

- Nếu  thì  hoặc

- Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ  và  cùng phương là có một số thực  sao cho

Chú ý:

Tương tự như phép nhân một số với một vectơ trong mặt phẳng, phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau:

- Tính chất kết hợp: Nếu h, k là hai số thực và  là một vectơ bất kì thì

- Tính chất phân phối: Nếu h, k là hai số thực và  là hai vectơ bá́t kì thì  và

- Tính chất nhân với 1 và -1 : Nếu  là một vectơ bất kì thì

Chú ý. 

Tương tự như trong mặt phẳng, nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với điểm O tuỳ ý, ta có

4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

a) Góc giữa hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ  khác . Lá́y một điểm  bất kì và gọi  là hai điểm sao cho . Khi đó, góc  được gọi là góc giữa hai vectơ  và , kí hiệu là .

Chú ý:

- Để xác định góc giữa hai vectơ  và  trong không gian ta có thể lấy điểm  sao cho , khi đó .

- Quy ước góc giữa một vectơ bất kì và 0 có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ .

b) Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ  đều khác . Tích vô hướng của hai vectơ  là một số, kí hiệu là, được xác định bởi công thức:

Chú ý:

Quy ước nếu hoặc  thì

Cho hai vectơ đều khác . Khi đó:

Với mọi vectơ , ta có .

Nếu  là hai vectơ khác  thì .