Bài tập file word Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

BÀI 11: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ  (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B = 600. Tính (AB, AC); (CA,CB)

Trả lời:

(AB, AC) = BAC = 900 

(CA,CB) = ACB = 600

Bài 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính AB. BC

Trả lời:

12. AB. BC = - BA. BC = - |BA|. |BC|.cos (BA; BC) = -BA.BC.cos 600 = - 12.a2

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB. AC

Trả lời:

2. AB. AC = AB . AC.cos 450 = a.a2. 22 = a2

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho hai vectơ a và  b thỏa mãn |a| = 3 ; |b | = 2 ; a . b = -3 . Xác định góc giữa hai vectơ.

Trả lời:

a .b = |a|.|b|. cos (a ; b) => cos (a ; b) = (-3) : ( 3.2) = - 12 => (a ; b) = 1200

Bài 2: Cho hai vectơ a và  b ≠ 0 . 

Xác định góc giữa hai vectơ a và  b khi a .b = - |a|.|b|

Trả lời:

a .b = |a|.|b|. cos (a ; b)

Mà a .b = - |a|.|b| => cos (a ; b) = -1 => (a ; b) = 1800

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính AE. AB

Trả lời:

E là điểm đối xứng của D qua C => DE = 2a

1. AE. AB = (AD + DE). AB = AD . AB + DE . AB = 0 + DE. AB.cos 00 = 2a2

Bài 4 : Cho hai điểm B, C phân biệt. Tìm điểm M sao cho CM. CB = CM2

Trả lời:

1. CM. CB = CM2 ⬄ CM. CB - CM2 = 0 ⬄ CM. (CB - CM ) = 0 ⬄CM. MB = 0

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC.

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính (CB - CA).(2. CA – 3.AH)

Trả lời:

12. AB. AC = AB . AC.cos 600 =  12.a2
13. BA. AH = - AB. AH = -AB .AH.cos 300 = - 34.a2

(CB - CA).(2. CA – 3.AH) = AB . (2. CA – 3.AH) = - 2. AB. AC – 3. AB. AH

= -2. 12.a2 – 3. 34.a2 = - 134.a2

Bài 2 : Một người dùng một lực F có độ lớn 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực F hợp với hướng dịch chuyển một góc 600. Tính công sinh ra bởi lực F

Trả lời:

Đặt OM = s là đoạn đường mà vật di chuyển được

Công sinh ra bởi lực F là: 

A = F. OM = |F|.|OM|.cos (F; OM) = 90. 100.cos 600 = 2500 J

Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB = 2; AC = 3 ; BAC = 600 . Cho điểm M thỏa mãn MB +2. MC = 0. Tính độ dài AM

Trả lời:

MB +2. MC = 0 ⬄ (AB - AM) +2.( AC - AM) = 0 ⬄ AM =  13 .AB + 23 . AC

=> AM2 =  19 .AB2  + 49 .AC2 - 49 .AB . AC  

              = 19 .22  + 49 .32 - 49 .2.3.cos 600 = 289

=> AM = 273

Bài 4 : Cho hai điểm A(2; 2) ; B(5; -2). Tìm điểm M trên tia Ox sao cho AMB = 900

Trả lời:

Gọi M( x; 0) 

AM = ( x – 2; -2) ; BM = ( x – 5; 2)

AMB = 900 ⬄ AM . BM = 0 ⬄ ( x- 2 ). ( x- 5 ) – 4 = 0 

⬄ x2  - 7x + 6 = 0 ⬄ x = 6 hoặc x = 1

Vậy M ( 6; 0) hoặc M (1; 0)

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho các vectơ a, b có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện |2.a – 3. b| = 4. Tính cos (a, b)

Trả lời:

|2.a – 3. b| = 4 ⬄ (2.a – 3. b )2 = 16 ⬄ 4. a2 – 12. a. b + 9. b2 = 16

⬄ 4. 1 – 12.cos (a, b) + 9 = 16 ⬄ cos (a, b) = - 14

Bài 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Chứng minh với điểm M bất kì ta có :

9.MG2 = 3.( MA2 + MB2 + MC2 ) – ( AB2 + BC2 + CA2)

Trả lời:

G là trọng tâm => MA + MB + MC = 3.MG

=> ( MA + MB + MC )2 = 9. MG2

⬄ MA2 + MB2 + MC2 + 2. (MA. MB + MB. MC + MC. MA) = 9.MG2

⬄ MA2 + MB2 + MC2 + ( MA2 + MB2 – AB2) + ( MB2 + MC2 – BC2) + ( MA2 + MC2 – AC2)  = 9.MG2

⬄ 3.( MA2 + MB2 + MC2 ) – ( AB2 + BC2 + CA2) = 9.MG2

Bài 3: Cho tam giác ABC ; trọng tâm G. Chứng minh :

GA2 + GB2 + GC2 = 13. (AB2 + BC2 + AC2)

Trả lời:

GA + GB + GC = 0

⬄ ( GA + GB + GC )2 = 0

⬄ GA2 + GB2 + GC2 + 2. (GA. GB + GB. GC + GC. GA) = 0

⬄ 3. (GA2 + GB2 + GC2) – ( GA2 + GB2 – 2. GA. GB) – (GB2 + GC2 – 2. GB. GC) – ( GC2 + GA2 – 2. GC. GA ) = 0

⬄ 3. (GA2 + GB2 + GC2) = ( GA - GB ) 2 +( GB - GC )2 + (GC - GA)2

⬄ 3. (GA2 + GB2 + GC2) = AB2 + BC2 + AC2

⬄ GA2 + GB2 + GC2 = 13. (AB2 + BC2 + AC2)

Bài 4: Với 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh : AB. CD + AC. DB + AD. BC = 0

Trả lời:

1. AB. CD + AC. DB + AD. BC

= AB. (AD - AC) + AC .( AB - AD) + AD. (AC - AB)   

= AB. AD - AB .AC  + AC . AB - AC. AD +  AD. AC - AD . AB   

= ( AB. AD - AD . AB ) + ( AC . AB - AB .AC ) + ( AD. AC - AC. AD )

= 0