Bài tập file word Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

BÀI 5: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 00 ĐẾN 1800 (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1 : Cho tam giác ABC có : AB = 5 ; AC = 8 ; A = 600 . Tính cạnh BC

Trả lời:

BC2 = AC2 + AB2 – 2. AC. AB.cos A = 82 + 52 – 2. 8. 5.cos 600 = 49 => BC = 7

Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là : a = 12; b = 13; c = 15. Tính số đo góc A.

Trả lời:

cos A =b2+c2-a22bc =132+152-1222.13.15 =2539 => A 500 

Bài 3: Cho tam giác ABC có A = 600 ; B = 450 ; b = 4. Tính cạnh a

Trả lời:

asin A = bsin B ⬄a = b.sin A sin B = 4.sin 600 : sin 450 4,9

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho ΔABC có a = 4; c = 5 ; B = 1500 . Tính diện tích tam giác ABC ?

Trả lời:

SABC = 12.a.c.sin B = 12. 4. 5.sin 1500 = 5

Bài 2: Một tam giác có độ dài 3 cạnh là 52; 56 và 60. Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó ?

Trả lời:

p = a+b+c2 = 52+56+602 = 84

Theo công thức Heron ta có : S = 84.84-52.84-56.(84-60) = 1344

S = abc4R => R = abc4S = 52. 56.604. 1344 = 32,5

Bài 3: Giải tam giác ABC biết a = 7; b= 23; C = 1300

Trả lời:

+) Định lí cosin : c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C = 72 + 232 – 2. 7. 23.cos 1300 

  => c 28,02

+) C = 1300 => góc A và góc B là các góc nhọn

+) Định lí sin : asin A = csin C ⬄ sin A = 7.sin 1300 : 28,02 0,191 => A 110

+) B = 1800 – 1300 – 110 390

  Vậy c 28,02 ; A 110 ; B 390

Bài 4: Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là : a = 14; b = 18; c = 20. Tính số đo 3 góc.

Trả lời:

cos A =b2+c2-a22bc =182+202-1422.18.20 =1115 => A 430  

cos B =a2+c2-b22ac =142+202-1822.14.20 =1735 => B 610  

C = 1800 – 430 – 610 760  

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Hai tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi theo hai hướng và tạo với nhau một góc 600. Tàu thứ nhất chạy với vận tốc 30 km/ h , tàu thứ hai chạy với vận tốc 40 km/h. Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

Trả lời:

+) Giả sử tàu thứ nhất chạy theo cạnh AB , tàu thứ hai chạy theo cạnh AC 

=> A = 600 ; hai tàu cách nhau khoảng BC

+) Sau 2 giờ tàu thứ nhất chạy được quãng đường là AB = 30. 2 = 60 (km)

+) Sau 2 giờ tàu thứ hai chạy được quãng đường là AC = 40. 2 = 80 (km)

+) Theo định lí Cosin ta có : 

BC2 = AB2 + AC2 – 2. AB. AC.cos A = 602 + 802 – 2.60.80.cos 600 = 5200

=> BC = 2013 (km)

Bài 2: Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên người ta làm như sau : Xác định một điểm B có khoảng cách AB = 12 km và đo góc 

ACB = 370 . Hãy tính khoảng cách AC biết rằng BC = 5 km

Trả lời:

Áp dụng định lí Cosin ta có :

AB2 = AC2 + BC2 – 2. AC. BC.cos ACB 

⬄ 144 = AC2 + 25– 10.AC.cos 370 = 5200

⬄ AC ≈ 15,6 (thỏa mãn) hoặc AC -7,6 (loại)

Vậy AC 15,6 km

Bài 3:  Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn Lan đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là 300 . Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng 100m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là 400. Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét ( làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Trả lời:

ACB  = 1800 – 300 – 400 = 1100

+) ΔABC , định lí sin : ACsin B = ABsin C => AC = 100.sin 400 : sin 1100 68,4 (m)

+) ΔAHC có CH = AC.sin 300 68,4.0,5 34,2 (m)

Vậy khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển khoảng 34,2 m

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 4; AC = 10 và đường trung tuyến AM = 6. Tính độ dài cạnh BC

Trả lời:

AM2 = AB2+AC22 -BC24 => BC2 = 4. ( 42+1022 - 62) = 88 => BC = 222 

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Trong lần đến tham quan tháp Eiffel (ở Thủ đô Paris, Pháp), bạn Phương muốn ước tính độ cao của tháp. Sau khi quan sát, bạn Phương đã minh hoạ lại kết quả đo đạc ở hình dưới. Em hãy giúp bạn Phương tính độ cao h của tháp Eiffel (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trả lời:

+) ΔABD , tính chất góc ngoài => ADB  = 700 – 500 = 200

+) ΔABD, định lí sin : BDsin BAD = ABsin ADB => BD = 154.sin 500 : sin 200 345 (m)

+) ΔBCD vuông tại C : CD = BD.sin CBD = 345.sin 700   324 (m)

Vậy chiều cao h của tháp Eiffel khoảng 324 m

Bài 2: Để tính đường kính và diện tích của một giếng nước có dạng hình tròn, người ta tiến hành đo ba vị trí A, B, C trên thành giếng. Kết quả đo được : BC = 5m ; A = 1450 . Tính diện tích giếng nước ?

Trả lời:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có : BCsin A = 2R 

=> R = 5: ( 2.sin 1450) 4, 36 (m)

=> Diện tích giếng nước là 3,14 . 4,362 59,69 (m2)

Bài 3: Cho tam giác ABC thỏa mãn a3 = b3 + c3 . Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn.

Trả lời:

+) a3 = b3 + c3 => a là cạnh lớn nhất => A là góc lớn nhất

+) a3 = b3 + c3 = b . b2 + c . c2 < a. b2 + a.c2 = a. (b2 + c2)

=> a2 < b2 + c2 => cos A > 0 => A là góc nhọn

+) A là góc nhọn và là góc lớn nhất => B và C cũng là góc nhọn => ΔABC nhọn

Bài 4: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A = 2.sin B. cos C . Chứng minh ABC là tam giác cân. 

Trả lời:

sin A = 2.sin B. cos C ⬄ a2R =2.b2R . a2+b2-c22ab 

⬄ a2 = a2 + b2 – c2 ⬄ b2 = c2 ⬄ b = c ⬄ ABC là tam giác cân tại A