Bài tập file word Toán 10 Kết nối tri thức Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

BÀI 18 : PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình x2-6x-4=x-4

Trả lời:

Bình phương 2 vế của phương trình ta được :

x2 – 6x – 4 = x – 4

⬄ x2 – 7x = 0

⬄ x( x – 7) = 0

⬄ x = 0 hoặc x = 7

Thử lại ta thấy x = 0 ( không thỏa mãn) ; x = 7 ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 7

Bài 2: Giải phương trình 2x2+3x+1=x2+4x+3

Trả lời:

Bình phương hai vế của phương trình ta được :

2x2 + 3x + 1 = x2 + 4x + 3

⬄ x2 – x – 2 = 0

⬄ ( x – 2)( x + 1) = 0

⬄ x = 2 hoặc x = -1

Thử lại ta thấy đều thỏa mãn

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = -1

Bài 3: Giải phương trình  x2-6x+6 = 2x - 1

Trả lời:

+) 2x – 1 ≥ 0 ⬄ x ≥ 12 (1)

+) Bình phương hai vế của phương trình ta được

    x2 – 6x + 6 = 4x2 – 4x + 1

⬄ 3x2 + 2x – 5 = 0

⬄ ( 3x + 5)(x -1) = 0

⬄ x = -53  hoặc x = 1 ( 2)

Từ ( 1) và (2) => x = 1

Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình x2-3x+3+x2-3x+6 = 3

Trả lời:

Đặt t = x2-3x+3 ( t ≥ 0) => t2 = x2 – 3x + 3 => x2 – 3x + 6 = t2 + 3

Ta có : t + t2+3 = 3

⬄ t2+3 = 3 – t

⬄ t2 – 3 = 9 – 6t + t2 và 3 – t ≥ 0

⬄ t =1 và t ≤ 3 ⬄ t = 1

Với t = 1 => x2-3x+3 = 1 

⬄ x2 – 3x + 3 = 1 ⬄ x2 – 3x + 2 = 0 ⬄ x = 1 ; x = 2

Thử lại ta thấy thỏa mãn 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 2}

Bài 2: Giải phương trình : ( x – 2) 2x2+4 = x2 - 4

Trả lời:

( x – 2) 2x2+4 = x2 - 4

⬄ ( x – 2) 2x2+4 = ( x – 2)( x + 2)

⬄ ( x – 2) [2x2+4 – ( x + 2 )] = 0

⬄ x – 2 = 0 hoặc 2x2+4 – ( x + 2 ) = 0 

+) x – 2 = 0 ⬄ x = 2

+) 2x2+4 – ( x + 2 ) = 0 

⬄ 2x2+4 = x + 2   

⬄ 2x2 + 4 = x2 + 4x + 4 và x ≥ -2

⬄ x2 – 4x = 0 và x ≥ -2

⬄ x = 0 hoặc x = 4 và x ≥ -2

⬄ x = 0 hoặc x = 4

Thử lại ta thấy đều thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; 0; 4}

Bài 3: Giải phương trình : x2 + x2+11 = 31

Trả lời:

Đặt t = x2+11 ( t ≥ 0) 

=> t2 – 11 + t = 31 

⬄ t2 + t – 42 = 0

⬄ ( t + 7)(t – 6) = 0

⬄ t = -7 (loại) ; t = 6 ( thỏa mãn)

Với t = 6 => x2+11 = 6 ⬄ x2 + 11 = 36 ⬄ x2 = 25 ⬄ x = ± 5

Thử lại ta thấy thỏa mãn

Vậy x = ± 5 là nghiệm của phương trình.

Bài 4: Với m > 0 , tìm nghiệm của phương trình x2-m2 = x – m

Trả lời:

x2-m2 = x – m ⬄ x ≥ m ; x2 – m2 = ( x – m)2

⬄ x ≥ m ; 2xm = 2m2

⬄ x ≥ m ; x = m ⬄ x = m

Vậy phương trình luôn có 1 nghiệm x = m ( m > 0)

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình x3+x2-1+x3+x2+2 = 3

Trả lời:

Điều kiện x3 + x2 – 1 ≥ 0

Đặt u = x3+x2-1 ; v = x3+x2+2 ta được hệ phương trình :

u + v = 3; v2 – u2 = 3

⬄ u + v = 3 ; ( v – u )( v + u) = 3

⬄ u + v = 3 ; v – u = 1

⬄ v = 2 ; u = 1

⬄ x3+x2+2 = 2; x3+x2-1 = 1

⬄ x3 + x2 + 2 = 4 ; x3 + x2 - 1 = 1

⬄ x3 + x2 - 2 = 0

⬄ ( x – 1)(x2 + 2x + 2 ) = 0

⬄ x = 1 ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

Bài 2: Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số y = 3x-4 và đường thẳng y = x - 3

Trả lời:

Giao điểm giữa đồ thị hàm số y = 3x-4 và đường thẳng y = x – 3 là nghiệm của phương trình 3x-4 = x – 3

⬄ 3x – 4 = ( x – 3)2 ; x – 3 ≥ 0

⬄ x2 – 9x + 13 = 0 ; x ≥ 3

⬄ x = 9+292 hoặc x = 9- 292 ; x ≥ 3

⬄ x = 9+292 ( thỏa mãn)

Vậy đồ thị hàm số y = 3x-4 và đường thẳng y = x – 3 có 1 giao điểm chung.

Bài 3: Tính tích các nghiệm của phương trình x2+x+1 = x2 + x - 1

Trả lời:

x2+x+1 = x2 + x - 1

⬄ x2 + x  + 1 - x2+x+1 – 2 = 0

⬄ (x2+x+1)2 - x2+x+1 – 2 = 0

⬄ x2+x+1 = -1 ( loại) hoặc x2+x+1 = 2

⬄ x2 + x – 3 = 0

Theo định lý Vi -ét ta có x1.x2 = -3

Vậy tích hai nghiệm của phương trình bằng – 3

Bài 4 : Tìm nghiệm của phương trình 4-x + 2-xx-5 = 1

Trả lời:

Điều kiện 4 – x ≥ 0  và x – 5 > 0 ⬄ x ≤ 4 và x > 5 ( vô nghiệm)

Hệ điều kiện vô nghiệm => phương trình vô nghiệm.

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Bạn Lan giải phương trình x2+3x + 1 = 3x theo các bước sau :

Bước 1 : Bình phương 2 vế của phương trình ta được : x2 + 3x = ( 3x – 1)2

Bước 2 : Khai triển và rút gọn ta được: 8x2 – 9x + 1 = 0 ⬄ x = 18 hoặc x = 1

Bước 3 : Khi x = 18 ta có x2 + 3x > 0 . Khi x = 1 ta có x2 + 3x > 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {18 ;1}

Em hãy xem bạn Lan làm đúng chưa ? Nếu chưa , em hãy sửa lại cho đúng.

Trả lời:

Bạn Lan làm chưa đúng ở bước 3.

x2 + 3x > 0 là điều kiện xác định của phương trình , không phải điều kiện có nghiệm

Thử lại ta thấy x = 18 ( không thỏa mãn) ; x = 1 ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Bài 2: Tỉnh tổng các nghiệm của phương trình x2+481 - 3.4x2+481 = 10

Trả lời:

Đặt t = 4x2+481 ; t ≥ 4481

Ta có phương trình : t2 – 3t – 10 = 0

⬄ t = 5 ( thỏa mãn điều kiện) hoặc t = -2 ( không thỏa mãn)

Với t = 5 => 4x2+481 = 5 ⬄ x2 + 481 = 625 ⬄ x = ± 12

Thử lại thấy thỏa mãn => tổng các nghiệm của phương trình bằng 0

Bài 3: Xét nửa đường tròn đường kính MN = 10. Xét điểm B ( không trùng hai điểm M, N) di động trên nửa đường tròn và hình chiếu của B trên đoạn MN là điểm A, vẽ hình chữ nhật ABCD với C cũng thuộc nữa đường tròn. Tìm độ dài AI biết chu vi hình chữ nhật ABCD bằng 22.

Trả lời:

Đặt AI = x ( 0 < x < 5) => AD = 2x

Tam giác ABC vuông tại A => AB = 52-x2

Chu vi hình chữ nhật ABCD là : 2.( AB + AD) = 22 

⬄ 2. 52-x2 + 4x = 22

⬄ 25-x2 = 11 – 2x

⬄ 25 – x2 = 121 – 44x + 4x2  ; 11 – 2x ≥ 0

⬄ 5x2 – 44x + 96 = 0 ; x ≥ 112

⬄ x = 245 hoặc x = 4 ; x ≥ 112

Thử lại thấy thỏa mãn 

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và I là  245 hoặc 4

Bài 4 : Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD /km và đường ống dưới nước là 130 000 USD/ km. Điểm B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9 km. Biết rằng chi phí làm đường ống này là 1170000 USD. Tính khoảng cách giữa vị trí A và C.

Trả lời:

Đặt B’C = x ( 0 ≤ x ≤ 9) => BC = 36+x2

Tổng chi phí làm đường ống là : 50 000. (9 – x) + 130 000. 36+x2 = 1 170 000

⬄ 5.(9 – x) + 13. 36+x2 = 117

⬄ 13. 36+x2 = 5x + 72

⬄ 5x + 72 ≥ 0 ; 169.(36 + x2 ) = 25x2 + 720x + 5184

⬄ x ≥ -725 ; 144x2 – 720x + 900 = 0

⬄ x = 52

B’C = 52 = 2,5 => AC = 9 – 2,5 = 6,5 (km)