Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

BÀI 24.HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

1. HOÁN VỊ

Bài 1: Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng, từ trái sang phải, để tham gia một cuộc phỏng vấn.

1. Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.
2. Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn?

Đáp án:

1. a) Cách 1: Hà, Mai, Nam, Đạt.

Cách 2: Hà, Mai, Đạt, Nam.

Cách 3: Hà, Đạt, Mai, Nam

1. Số cách chọn vị trí cho bạn thứ nhất là 4,

Số cách chọn vị trí cho bạn thứ hai là 3, 

Số cách chọn vị trí cho bạn thứ ba là 2,

Số cách chọn vị trí cho bạn thứ tư là 1.

Vậy số cách sắp xếp thứ tự 4 bạn là: 4.3.2.1 = 24 cách.

Bài 2: Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?

Đáp án:

Số cách xếp các vận động viên vào các đường chạy là một hoán vị của 6 phần tử.

Vậy số cách sắp xếp là  cách.

2. CHỈNH HỢP

Bài 1: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung đủ tiêu chuẩn tham gia cuộc thi hùng biện của trường.

1. Giáo viên cần chọn ra hai bạn phụ trách nhóm trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai bạn từ bốn bạn nêu trên?
2. Có bao nhiêu cách chọn hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trường, một bạn làm nhóm phó?

Đáp án:

1. a) Các cách chọn 2 bạn từ 4 bạn là: Tuấn – Hương, Tuấn – Việt, Tuấn – Dung, Hương – Việt, Hương – Dung, Việt – Dung. Vậy có 6 cách chọn thỏa mãn đề bài.
2. b) Số cách chọn bạn thứ nhất là 4 cách.

Số cách chọn bạn thứ hai là 3 cách.

Vậy có tất cả 4 . 3 = 12 cách.

Bài 2: Trong một giải đua ngựa gồm 12 con ngựa, người ta chỉ quan tâm đến 3 con ngựa: con nhanh nhất, nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

Đáp án:

Số kết quả có thể xảy ra khi chỉ quan tâm đến ba con ngựa về đầu trong 12 con ngựa là một chỉnh hợp chập 3 của 12. Vậy số kết quả là:

 kết quả.

3. TỔ HỢP

Bài 1: Trở lại Hoạt động 2

1. Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu Hoạt động 2avà Hoạt động 2b.
2. Từ kết quả tính được ở câu Hoạt động 2b(áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra cách tính kết quả ở câu Hoạt động 2a.

Đáp án: 

1. Ở HĐ2ata chỉ chọn 2 bạn từ 4 bạn, còn ở HĐ2bta chọn 2 bạn và sắp xếp thứ tự 2 bạn.
2. Kết quả ở câu HĐ2blà chỉnh hợp chập 2 của 4 phần từ, nên số cách chọn là:

Vì không phải sắp thứ tự hai bạn nên số cách tính ở HĐ2a là: 12 : 2 = 6 cách.

Bài 2: Trong ngân hàng để kiểm tra cuối học kì II môn Vật lí có 20 câu lí thuyết và 40 câu bài tập. Người ta chọn ra 2 câu lí thuyết và 3 câu bài tập trong ngân hàng đề để tạo thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề thi gồm 5 câu hỏi theo cách chọn như trên?

Đáp án:

Chọn 2 câu trong 20 câu lí thuyết là tổ hợp chập 2 của 20 phần tử, nên số cách chọn là:     = 190 cách.

Chọn 3 câu trong 40 câu bài tập là tổ hợp chập 3 của 40 phần tử, nên số cách chọn là:           = 9880 cách.

Số cách chọn 5 câu hỏi theo đề bài là: 190.9880 = 1 877 200 cách.

4. ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

Bài 1:  Một câu lạc bộ có 20 học sinh.

1. Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?
2. Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 phó ban, 4 thành viên khác vào ban quản lí?

Đáp án: 

1. Chọn 6 thành viên từ 20 học sinh là tổ hợp chập 6 của 20 phần tử, số cách chọn là: 38760 cách.
2. Theo a, chọn 6 thành viên trong 20 học sinh, số cách là: = 38760 cách.

Chọn 1 trưởng ban từ 6 thành viên có: 6 cách.

Chọn 1 phó ban từ 6 thành viên, trừ bỏ thành viên trưởng ban có: 5 cách.

Vậy số cách chọn 1 trường ban, 1 phó ban, 4 thành viên là:

 38760 . 6 . 5 = 1 162 800 cách.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 8.6 : Một hoạ sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để hoạ sĩ sắp xếp các bức tranh?

Đáp án:

Số cách để hoạ sĩ sắp xếp các bức tranh là:  (cách).

Bài 8.7 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Đáp án:

Chọn chữ số hàng trăm có 4 cách.

Số cách chọn chữ số hàng chục và hàng đơn vị là:  (cách).

Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có thể lập được là:

 (số).

Bài 8.8 : Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100?

Đáp án:

+ Số cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100 là:

+ Số cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100 là:

Bài 8.9 : Bạn Hà có 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu?

Đáp án:

Số cách chọn ra 1 viên bi màu xanh là:  (cách).

Số cách chọn ra 1 viên bi màu đỏ là:  (cách).

Do đó, số cách chọn thoả mãn đề bài là:  (cách).

Bài 8.10 : Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua.

1. Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?
2. Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?
3. Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?

Đáp án:

1. a) Số cách chọn 4 bạn nam là: (cách).
2. b) Số cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ là: (cách).
3. c) Số cách chọn 2 bạn nam là: (cách).

Số cách chọn 2 bạn nữ là:  (cách).

Vậy số cách chọn thoả mãn đề bài là:  (cách).

Bài 8.11: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Đáp án:

Có hai trường hợp:

+ Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là 0 .

Số cách chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục là:

Vậy trong trường hợp này có 504 số.

+ Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị là 5.

Số cách chọn chữ số hàng nghìn là 8 .

Số cách chọn các chữ số hàng trăm và hàng chục là:

Vậy trong trường hợp này có:  (số). 

Do đó, số các số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau là: