Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 25: Nhị thức Newton

BÀI 25. NHỊ THỨC NEWTON

Bài 1: Hãy xây dựng sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:

• Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi müi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H.8.6);
• Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi müi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;
• Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhã̉n của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d)

Đáp án:

Tổng các tích nhận được: a.c + a.d + b.c + c.d

Khai triển của tích (a+b).(c+d) = a.c + a.d + b.c + c.d

Vậy tổng của các tích nhận được bằng với khai triển của tích (a+b).(c+d).

Bài 2: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích (a +b).(a +b).(a +b)

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a³, a²b, ab², b³?

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)³.

Đáp án:

1 tích bằng a³, 3 tích bằng a²b, 3 tích bằng ab², 1 tích bằng b³

Các hệ số nhận được 1, 3, 3, 1 trùng với các hệ số tương ứng của a³, a²b, ab², b³.

Bài 3: Hãy vẽ sơ đồ hình cây của khai triển (a + b)⁴ được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm 2⁴ (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x.y.z.t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a.a.b.a, thu gọn là a³b. Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với ³b trong tổng là .

Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau:

• a⁴
• a³b
• a²b²
• ab³
• b⁴

Đáp án:

Để có đơn thức  thì phải có 0 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là:  =1, hay có 1 đơn thức

Để có đơn thức  thì phải có 3 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là:  =4.

Để có đơn thức  thì có 2 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là:  = 6

Để có đơn thức  thì có 1 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là:  = 4.

Để có đơn thức  thì phải có 4 nhân tử b và không có nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng là:  =1, hay có 1 đơn thức

Bài 4: Khai triển (x - 2)⁴.

Đáp án:

Bài 5 : Khai triển (3x - 2)⁵

Đáp án: 

(3x-2)⁵ = (3x)⁵ +5.(3x)⁴.(-2)+ 10.(3x)³.(-2)² + 10.(3x)².(-2)³ + 5.(3x).(-2)⁴ + (-2)⁵

            = 243x⁵ - 810x⁴ + 1080x³ - 720x² + 240x -32.

Bài 6 :

54. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,05)⁴để tính giá trị gần đúng của 1,05⁴.
55. Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,05⁴và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Đáp án:

4. Khai triển: (1 + 0,05)⁴ = 1⁴+ 4.1³.0,05 + 6.1².0,05²+ 4.1.0,05³ + 0,05⁴.

1,05⁴  1⁴ + 4.1³.0,05 = 1,2

1. 1,05⁴ = 1,21550625

Sai số tuyệt đối là:

|1,21550625 – 1,2| = 0,01550625.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 8.12 : Khai triển các đa thức:

1. (x -3)⁴
2. (3x - 2y)⁴
3. (x+5)⁴+ (x - 5)⁴
4. (x - 2y)⁵

Đáp án:

1. a) .
2. b) .
3. c) .
4. d) .

Bài 8.13: Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển của (3x -1)⁵

Đáp án:

Số hạng chứa là:

Hệ số của  trong khai triển của  là .

Bài 8.14: Biểu diễn dưới dạng  với a, b là các số nguyên.

Đáp án:

Ta có .

Bài 8.15 : a. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)⁵ để tính giá trị gần đúng của 1,02⁵

1. Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,02⁵và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Đáp án:

1. a) Ta có .
2. b) Ta có .

Sai số tuyệt đối là:

Bài 8.16 : Số dân của một tình ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%.

1. Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là (nghìn người).
2. Với r = 1,5%, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của (1 + 0,015)⁵hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

Đáp án:

1. a) Số dân của tỉnh đó sau 1 năm là:

 (nghìn người).

Số dân của tỉnh đó sau 2 năm là :

(nghìn người).

Suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là :

1. b) Ta có: .

Vậy số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là khoảng:  (nghìn người).