HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

- GV yêu cầu học sinh nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Hàm số có tính chất như thế nào được gọi là đồng biến, nghịch biến?

+ Hàm số đồng biến có dạng đồ thị như thế nào? Hàm số nghịch biến có dạng đồ thị như thế nào?

- GV mời 2 HS đứng tại chỗ trình bày.

- GV nhận xét, chốt đáp án và khẳng định “Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên  được gọi chung là đơn điệu trên ”.

- GV yêu cầu HS tìm hiểu Ví dụ 1 (SGK – tr.7) và hoàn thành yêu cầu.

+ Quan sát đồ thị, cho biết đồ thị đi lên trong khoảng nào từ trái sang phải?

+ Quan sát đồ thị, cho biết đồ thị đi xuống trong khoảng nào từ trái sang phải.

Từ đó đưa ra kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi thực hiện yêu cầu của thực hành 1.

- GV mời 2 bạn HS đứng tại chỗ trình bày bài, GV nhận xét chốt đáp án.

NV2: Tìm hiểu tính đơn điệu của hàm số

+ GV yêu cầu HS thực hiện hoạt động khám phá 1 và hoàn thành các yêu cầu sau:

Cho hàm số .

a) Từ đồ thị của hàm số , hãy chỉ ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.

b) Tính đạo hàm  và xét dấu .

c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số với dấu của .

- GV mời 3 HS lên bảng trình bày.

- GV nhận xét, kết luận về tính đơn điệu của hàm số.

- GV yêu cầu HS tìm hiểu ví dụ 2 (SGK – Tr.8)

- GV mời 1 HS đứng tại chỗ trình bày lại.

- GV đặt câu hỏi: Ta xét tính đơn điệu của hàm số trên tập hợp nào? Từ đó đưa chú ý cho HS.

- GV yêu cầu HS đưa ra các bước thực hiện xét tính đơn điệu của một hàm số.

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi tìm hiểu Ví dụ 3.

- GV mời 3 bạn HS lên bảng trình bày bài.

- GV nêu chú ý cho HS.

- GV chia lớp thành 4 nhóm để thảo luận và thực hiện phần Thực hành 2.

+ Nhóm 1 và 2, thực hiện câu a).

+ Nhóm 3 và 4, thực hiên câu b).

+ Các nhóm thực hiện trao đổi, thống nhất đáp án trong 6 - 8 phút.

- Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) ;

b) .

+ Sau thời gian thảo luận, GV mời đại diện từng nhóm lên thực hiện bài giải của nhóm mình.

+ HS dưới lớp quan sát, thực hiện bài làm vào vở cá nhân.

+ GV quan sát, nhận xét bài làm của HS và rút ra kinh nghiệm làm bài cho HS.

- GV yêu cầu HS thực hiện nhóm đôi hoàn thành yêu cầu của thực hành 3: Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên .

+ Tính  của hàm số trên tập xác định.

+ Giá trị của  nằm trong khoảng nào? Từ đó xét dấu của .

- GV mời 1 HS lên bảng trình bày bài, các bạn theo dõi nhận xét bài.

- GV chốt đáp án.

- GV đặt câu hỏi: Hãy trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số  với .

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Tính đơn điệu của hàm số.

1. Tính đơn điệu của hàm số

Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Kí hiệu  là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số  xác định trên .

Hàm số  gọi là đồng biến (tăng) trên  nếu với mọi  thuộc  mà  thì .

Hàm số  gọi là nghịch biến (giảm) trên  nếu với mọi  thuộc  mà  thì .

Nếu hàm số  đồng biến trên  thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số  nghịch biến trên  thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số  có đồ thị cho ở Hình 2.

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , nghịch biến trên khoảng .

Thực hành 1.

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , nghịch biến trên các khoảng  và .

Tính đơn điệu của hàm số

HĐKP1

a) Hàm số đồng biến trên khoảng  và hàm số nghịch biến trên khoảng ).

b) Ta có:

Bảng xét dấu:

c) Khi  thì hàm số  nghịch biến.

Khi  thì hàm số  đồng biến.

Kết luận

Cho hàm số  có đạo hàm trên .

Nếu  với mọi  thuộc  thì hàm số  đồng biến trên .

 Nếu  với mọi  thuộc  thì hàm số  nghịch biến trên .

Ví dụ 2 (SGK – tr.8)

Hướng dẫn giải – SGK – tr.8

Chú ý: Khi xét tinh đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng , ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó.

Các bước thực hiện

Để xét tính đơn điệu của hàm số , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định  của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm  của hàm số. Tìm các điểm  thuộc  mà tại đó đạo hàm  bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3: Xét dấu  và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 3 (SGK – Tr.8)

Hướng dẫn giải – SGK – tr.8-9.

Chú ý:

a) Nếu hàm số  có đạo hàm trên ,  với mọi  và  chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên .

b) Nếu hàm số  có đạo hàm trên ,  với mọi  và  chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên .

c) Nếu  với mọi  thì hàm số không đổi trên .

Thực hành 2.

a) Tập xác định:

Ta có:

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và

Hàm số nghịch biến trên khoảng .

b) Tập xác định: .

Ta có:

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Thực hành 3.

Tập xác định: .

Ta có:

Vì nên

Vậy hàm số đồng biến trên .

Vận dụng 1.

Ta có:

Bảng biến thiên:

Trong khoảng thời gian  và  khinh khí cầu tăng dần độ cao, trong khoảng thời gian  khinh khí cầu giảm dần độ cao.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu khái niệm cực trị của hàm số

- GV cho HS thực hiện thảo luận nhóm đôi thực hiện HĐKP2

Quan sát đồ thị của hàm số

a) Tìm khoảng  chứa điểm  mà trên đó  với mọi .

b) Tìm khoảng  chứa điểm  mà trên đó  với mọi .

c) Tồn tại hay không khoảng  chứa điểm  mà trên đó  với mọi  hoặc  với mọi ?

- GV chỉ định 3 HS lên bảng trình bày bài giải.

- HS dưới lớp nhận xét.

- GV giới thiệu khái niệm về các điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số

- GV đặt câu hỏi gợi mở đưa chú ý:

+ Các điểm cực tiểu và cực đại được gọi chung là gì? Giá trị cực đại và cực tiểu được gọi là gì?

+ Một hàm số có thể có mấy cực trị?

+ Nếu  là điểm cực trị của hàm số  thì điểm  là một điểm cực trị của đồ thị hàm số có tọa độ là gì?

- GV cho HS thảo luận nhóm tìm hiểu Ví dụ 4.

+ Tìm cực trị của hàm số  có đồ thị được cho ở Hình 7.

- GV cho HS làm bài cá nhân hoàn thành yêu cầu Thực hành 4.

+ Tìm các điểm cực trị của hàm số  có đồ thị cho ở Hình 8.

NV2: Tìm hiểu cách tìm cực trị của hàm số

- GV cho HS thực hiện thảo luận nhóm đôi thực hiện HĐKP3.

Đồ thị của hàm số

Được cho ở Hình 9.

a) Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số.

b) Tại hàm số có đạo hàm không?

c) Thay mỗi dấu ? bằng kí hiệu  thích hợp để hoàn thành bảng biến thiên dưới đây. Nhận xét về dấu của  khi  đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu.

+ Trong các khoảng hàm số đồng biến hay nghịch biến? Từ đó suy ra dấu của .

- GV tổng kết về cách tìm điểm cực trị thông qua dấu của đạo hàm.

- GV yêu cầu HS tìm hiểu Ví dụ 5: Tìm cực trị của hàm số .

+ Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

+ Tính .

+ Vẽ bảng biến thiên và tìm cực trị của hàm số.

- GV mời 1 HS lên bảng trình bày bài.

- Từ đó, GV yêu cầu HS khái quát các bước tìm cực trị của một hàm số.

- HS áp dụng quy tắc thực hiện ví dụ 6: Tìm cực trị của hàm số .

- GV đặt câu hỏi mở rộng: Nếu  và  không đổi dấu khi  qua điểm thì hàm số có cực trị không?

Từ đó đưa ra chú ý cho HS.

- GV yêu cầu HS hoàn thành Thực hành 5.

Tìm cực trị của hàm số

- GV mời 1 HS lên bảng trình bày.

- HS ở dưới nhận xét, GV chốt đáp án.

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm, hoàn thành yêu cầu phần Vận dụng 2.

Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số

 với .

Tìm tọa độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn .

+ Các tọa độ đỉnh của lát cắt dãy núi có phải cực trị của hàm số  trên đoạn  không?

+ Áp dụng quy tắc tìm cực trị để tìm các tọa độ đỉnh đó.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Cách tìm cực trị và giá trị cực trị của hàm số.

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

HĐKP2

a) Trong khoảng  thì  với mọi . 

b) Trong khoảng  thì  với mọi .

c) Không tồn tại khoảng  chứa điểm  mà trên đó  với mọi  hoặc  với mọi

Khái niệm

Cho hàm số  xác định trên tập hợp  và .

· Nếu tồn tại một khoảng  chứa điểm  và  sao cho  với mọi  thì  được gọi là một điểm cực đại,  được gọi là giá trị cực đại của hàm số , kí hiệu .

· Nếu tồn tại một khoảng  chứa điểm  và  sao cho  với mọi  thì  được gọi là một điểm cực tiểu,  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số , kí hiệu .

Chú ý:

a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số.

b) Nếu  là một cực trị (điểm cực trị, điểm cực tiểu) của hàm số  thì ta cũng nói hàm số  đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại .

c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên .

d) Nếu  là điểm cực trị của hàm số  thì điểm  là một điểm cực trị của đồ thị hàm số .

Ví dụ 4 (SGK – tr.10)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.10)

Thực hành 4.

Hàm số  có:

+   là điểm cực tiểu vì  với mọi .

+  là điểm cực đại vì  với mọi .

+  là điểm cực tiểu vì  với mọi .

Tìm cực trị của hàm số

HĐKP3

a)  là điểm cực đại của hàm số và  là điểm cực tiểu của hàm số.

b) Tại  hàm số không có đạo hàm.

c) Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy  đổi dấu khi đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu.

- Cho hàm số  liên tục trên khoảng  chứa điểm  và có đạo hàm trên các khoảng  và . Khi đó:

- Nếu  với mọi  và  với mọi  thì hàm số  đạt cực tiểu tại điểm

- Nếu  với mọi  và  với mọi  thì hàm số  đạt cực đại tại điểm

Ví dụ 5 (SGK – tr.11)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.11)

Nhận xét: Để tìm cực trị của hàm số ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định  của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm  của hàm số. Tìm các điểm  thuộc  mà tại đó đạo hàm  bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4: Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số.

Ví dụ 6 (SGK – Tr.12)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.12).

Chú ý:

a) Nếu  và  không đổi dấu khi  qua điểm thì hàm số không có cực trị tại .

b) Nếu  không đổi dấu trên khoảng  thì  không có cực trị trên khoảng đó.

Thực hành 5.

Tập xác định: .

Ta có:

Bảng biến thiên:

Hàm số đại cực đại tại  và đạt cực tiểu tại .

Vận dụng 2.

Ta có:

Khi đó:

Bảng biến thiên

Vậy tọa độ đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn [0 là:  và .

A. .

C.

B. .

D. .

A. .

B. .

C. .

D. .

A. 2.

B.

C. .

D. .

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

B

D

C

B

A