Bài tập file word Toán 10 Kết nối tri thức Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

BÀI 24 : HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP  (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Có 5 học sinh cùng tham gia vào một trò chơi và được xếp vào 5 vị trí cho trước, hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?

Trả lời:

Số cách sắp xếp là : P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 ( cách)

Bài 2: Cho 10 điểm trong mặt phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ không từ các điểm đã cho ?

Trả lời:

Số vectơ lập được là : A102 = 90

Bài 3: Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam. Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?

Trả lời:

Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: 

C183. C205= 816⋅15504 =12651264

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Khánh có 5 quyển sách Toán khác nhau, 4 quyển sách Hóa khác nhau, 3 quyển sách Lý khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sách lên giá sách theo từng môn học ?

Trả lời:

Có 3 môn học nên có 3! cách sắp xếp theo môn

Có 5! cách xếp môn Toán; 4! cách xếp môn Hóa và 3! cách xếp môn Lý

=> có 3!. 5!. 4!. 3! = 103680 ( cách)

Bài 2: Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A , B , C . Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh ?

Trả lời:

Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng trống và đưa 3 giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán. 

=> có : 6!. A53 = 43200 ( cách)

Bài 3: Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu cách lập từ đó một tổ công tác 5 người gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên ?

Trả lời:

Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng có 3 cách, 1 công nhân làm tổ phó có 7 cách và 3 công nhân làm tổ viên có : C63

Vậy số cách lập tổ công tác theo yêu cầu là: 3. 7. C63 = 420 ( cách)

Bài 4: Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang số ghế chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong sáu bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?

Trả lời:

Xếp hai bạn vào ghế mang số chẵn có A32 (cách)

Xếp hai bạn vào ghế mang số lẻ có A32 (cách)

Số cách xếp hai bạn còn lại vào hai vị trí còn lại là 2! cách. 

Số cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu là A32 . A32 . 2! = 72 ( cách)

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Tính giá trị biểu thức K = C158+ 2.C159+ C1510C1710

Trả lời:

K = C158+ 2.C159+ C1510C1710 = C158+ C159+C159+ C1510C1710 = C169+ C1610C1710 = C1710C1710 = 1

Bài 2: Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự, mỗi ông bắt tay với một người trừ vợ mình, các bà không ai bắt tay nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay ?

Trả lời:

Số cái bắt tay của 13 cặp vợ chồng không có điều kiện gì là C262 = 325 

Số cái bắt tay của 13 bà vợ với nhau là C132 = 78

Số cái bắt tay của 13 cặp vợ chồng với nhau (chồng bắt tay với vợ) là 13. 

Số cái bắt tay thỏa mãn yêu cầu bài toán là 325 − 78 −13 = 234 

Bài 3: Từ 20 câu trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó. Người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra?

Trả lời:

Số cách chọn ra 10 câu bất kỳ trong số 20 câu: C2010

Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu dễ: C1110

Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu trung bình: C1310

Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu khó: C1610

Số cách chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình và khó là: C2010 - C1110 - C1310 - C1610= 176451

Bài 4 : Một bó hoa có 9 bông hoa màu hồng và 5 bông hoa màu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 bông hoa thỏa mãn :

1. a) Có ít nhất 1 bông màu hồng? 
2. b) Có đủ cả 2 màu?

Trả lời:

1. a) Số cách chọn không có bông màu hồng là: C53

   Số cách chọn có ít nhất 1 bông màu hồng là: C143 – C53 = 354

1. b) +) TH1 : 2 bông màu đỏ, 1 bông màu hồng : C92 . C51

    +) TH2 : 2 bông màu hồng, 1 bông màu đỏ : C52. C91

=> có : C92 . C51 + C52. C91 = 270 ( cách)

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Rút gọn biểu thức T = Pn+2Ank.Pn-k + C155+ 2.C156+ C157C177

Trả lời:

T = Pn+2Ank.Pn-k + C155+ 2.C156+ C157C177  = n+2!n!n-k!. n-k! + 1 = ( n + 2)(n + 1) = n2 + 3n + 3

Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần ?

Trả lời:

Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A95 (cách)

Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). 

Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 . 

Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có c53 (cách)

=> có : A95 . c53 = 151200( số)

Bài 3: Một hình đa giác đều gồm 20 cạnh. Hỏi có thể lập được 

1. Bao nhiêu hình chữ nhật từ các đỉnh của đa giác trên? 
2. Bao nhiêu hình tam giác từ các đỉnh của tam giác trên? 
3. Bao nhiêu đường chéo?

Trả lời:

1. Hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo đi qua tâm O của đa giác. 

   Ta có số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là 10. 

   Chọn 2 trong 10 đường chéo thì lập được một hình chữ nhật 

   => lập được C452= 45 ( hình chữ nhật)

1. Một tam giác có 3 đỉnh không sắp thứ tự => số tam giác lập được : C203= 1140 
2. Một đường chéo được tạo thành từ hai điểm và trừ các cạnh của đa giác đó nên số đường chéo: C202 – 20 = 170  

Bài 4 : Một tổ có 15 học sinh, thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 5 học sinh cho mỗi đề kiểm tra. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách?

Trả lời:

+ Số cách chọn ra 5 hs trong 1 tổ cho đề kiểm tra số 1 là: C155 = 3003 ( cách)

+ Khi đó số học sinh còn lại chưa được phát đề kiểm tra là 10 hs 

   Số cách chọn ra 5 hs trong 10 hs còn lại cho đề kiểm tra số 2 là:  C105 = 252 ( cách)

+ Có 1 cách chọn cho 5 hs còn lại cho đề kiểm tra số 3. 

   Như vậy thầy giáo có: 3003. 252. 1 = 750750 cách