Bài tập file word toán 7 chân trời Chương 8 Bài 5: Đường trung trực của một đoạn thẳng

BÀI 5: ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

(19 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Hình nào sau đây biểu diễn trung trực của một đoạn thẳng

Đáp án:

Hình 1 biểu diễn trung trực d của đoạn thẳng AB.

Bài 2: Trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Chứng minh MA = MB.

Đáp án:

Vì một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng

Mà M thuộc trung trực d của đoạn thẳng AB

Bài 3: Cho điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 5cm. Tính BM.

Đáp án:

Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Mà

Bài 4: Cho hình vẽ sau. Chứng minh AD vuông góc với BC

Đáp án:

Ta có  và  

   là đường trung trực của .

 vuông góc với .

Bài 5: Cho tam giác  cân tại , có AH là đường vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng đường thẳng  là đường trung trực của đoạn thẳng .      

Đáp án:

Tam giác  cân tại  nên .

Xét hai tam giác vuông  và  có:  (vì  cân tại  ),  là cạnh chung.

Do đó  (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra  hay  là trung diểm của .

Mà  vuông góc với  tại .

Vậy  là đường trung trực của .

Bài 6: Cho tam giác  cân tại . Vẽ tia phân giác  của góc  thuộc . Chứng minh đường thẳng  là đường trung trực của đoạn thẳng .

Đáp án:

Tam giác  cân tại  nên ta có: . (1)

 là tia phân giác của góc  nên .

Xét hai tam giác  và  có:

.

Do đó  (g.c.g). Suy ra . (2)

Từ (1) và  suy ra  là đường trung trực của .

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 15 cm; AC = 20 cm. Vẽ đường trung trực của BC cắt AC tại D. Tính chu vi tam giác ABD.

Đáp án:

Ta cí D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC

 (tính chất điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)

Ta có chu vi tam giác ABD là:

Vậy chu vi của tam giác ABD là 35cm

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 12 cm. Gọi I là trung điểm của AB. Điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho MA = 10 cm. Tính MI

Đáp án:

Ta có I là trung điểm của AB nên

Mà AB = 12 cm

M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên

MI là dường trung trực của AB

 vuông tại I

Áp dụng pytago ta có:

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, có , đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính

Đáp án:

Ta có  cân tại A (gt)

Có D thuộc đường trung trực của AB

 cân tại D

Bài 4: M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho MA = 9cm và  . Độ dài đoạn AB

Đáp án:

Ta có M nằm trên đường trung trực của AB

Xét  vuông cân tại M, ta có:

cm

Bài 5: Cho tam giác  cân tại  là trung điểm của . Lấy điểm  thuộc đường thẳng . Chứng minh .

Đáp án:

Tam giác  cân tại     .

 là trung điểm của     .

Do đó,  là đường trung trực của .

Mà  thuộc đường thẳng .

 (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, có , đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính

Đáp án:

Ta có  cân tại A (gt)

Có D thuộc đường trung trực của AB

 cân tại D

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác  có , tia phân giác  (D thuộc  ). Trên cạnh  lấy điểm  sao cho . Chứng minh rằng  vuông góc với .

Đáp án:

Chứng minh được  (c.g.c).

  .

Mặt khác  (giả thiết). Do đó, hai điểm  cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng  hay  là đường trung trực của .

Do đó,  vuông góc với .

Bài 2: Cho tam giác  vuông tại . Đường trung trực của đoạn thẳng  cắt  tại  và cắt  tại . Chứng minh rằng .

Đáp án:

Vì  là đường trung trực của  nên .

Do đó,  cân tại   .

Ta có .

Do đó . tam giác  cân tại  hay .

Từ (1) và   .

Bài 3: Cho tam giác  cân tại . Gọi  lần lượt là trung điểm của hai cạnh . Hai đoạn thẳng  cắt nhau tại điểm . Gọi  là trung điểm của . Chứng minh rằng:

1. a) ;
2. b)
3. c) điểm thẳng hàng.

Đáp án:

1. a) Tam giác cân tại

    .

Từ đó chứng minh được  (c.g.c).

 (hai cạnh tương ứng).

1. b) .

Mặt khác, tam giác  cân tại     .

. Do đó, tam giác  cân tại .

Vì vậy .

1. c) Ta có .

Do đó,  cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng  hay ba điểm  thẳng hàng.

Bài 4: Cho tam giác  vuông tại . Vẽ . Lấy điểm  thuộc tia đối của tia  sao cho .

1. a) Chứng minh rằng và tia là tia phân giác của góc .
2. b) Qua vẽ đường thẳng song song với , cắt tại  và cắt  tại . Chứng minh rằng  là đường trung trực của đoạn thẳng .

Đáp án:

1. a) Xét hai tam giác vuông và có:

 (giả thiết),  chung.

   (hai cạnh góc vuông).

   (hai góc tương ứng) hay tia  là tia phân giác của góc .

1. b) Do  (hai góc so le trong).

Xét hai tam giác vuông  và  có:

,

   (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

.

Do  vuông góc với  tại trung điểm  của  

   là đường trung trực của .

Bài 5: Cho góc , điểm  nằm trong góc . Vẽ điểm  sao cho  là đường trung trực của đoạn thẳng , vẽ điềm  sao cho  là đường trung trực của đoạn thẳng .

1. a) Chứng minh rằng ;
2. b) Tính số đo .

Đáp án:

1. a) là trung trực của   .

 là trung trực của     .

.

1. b) Gọi lần lượt là giao điểm của với  với .

 (c.c.c),    (hai góc tương ứng).

 (c.c.c  (hai góc tương ứng).

.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, có , đường trung trực của BC cắt AC tại M. Chứng minh BM là phân giác của góc ABC

Đáp án:

Ta có M thuộc đường trung trực của BC

 cân tại M

Xét  có

Có  =

 là phân giác của

4. VẬN DỤNG CAO (1 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có AC = AB. Đường phân giác AH và đường trung trực của cạnh AB cắt nhau tại O. Trên cạnh AB, AC lấy lần lượt E và F sao cho AE = CF. So sánh OE và OF

Đáp án:

Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên OA = OB

 Tam giác OAB cân tại O

Vì AH là đường phân giác của góc ABC

Ta có AC = AF + CF mà AE = CF

  AC = AF + AE

Mặt khác AB = AC (gt); AB = AE + BE

 AF = BE

Xét tam giác BOE và tam giác AOF có

BE = AF (cmt)

 (cmt)

BO = OA (cmt)

BOE = AOF (c.g.c)

 OE = OF