BÀI 13. TIA PHÂN GIÁC (20 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình vẽ sau. Tính góc tOy, biết Ot là tia phân giác của góc xOy.

Đáp án:

Ta có Ot là tia phân giác của góc xOy nên xOz = zOy = 30°

Do đó xOy =  xOz + zOy = 60°

Lại có = 180° (hai góc kề bù)

Suy ra 60° + tOy = 180°

Vậy tOy = 180° - 60° = 120°

Bài 2: Cho hình vẽ dưới đây.

Nếu Oz là tia phân giác của góc xOy, biết góc xOz bằng 32° thì số đo của góc yOz là:

Đáp án:

Ta có hình vẽ:

Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên yOz = xOz = 32°.

Bài 3: Cho hình vẽ dưới đây. Hỏi BO là tia phân giác của góc nào?

Đáp án:

Ta có: ABO =  CBO và điểm O nằm bên trong ABC

Nên BO là tia phân giác của góc ABC.

Bài 4: Cho Ot là tia phân giác của xOy, biết xOy = 60. Số đo của xOt là:

Đáp án:

Ta có hình vẽ:

Vì Ot là tia phân giác của xOy

Nên xOt = tOy = xOy2 = 60°2 = 30°.

Bài 5: Cho góc AOB. Biết tia phân giác OM của góc đó, tia phân giác ON của góc AOM. Giả sử AON = 25°. Tính AOB.

Đáp án:

Ta có hình vẽ:

Vì ON là tia phân giác của  AOM nên  MON = AON = 25°

Mà  MOA = MON + AON = 25° + 25° = 50° .

Vì OM là tia phân giác của AOB nên BOM = AOM = 50°

Mà AOB = BOM + AOM = 50° + 50° = 100°

Vậy AOB = 100°.

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Cho góc AOB và tia phân giác OC của góc đó. Vẽ tia phân giác của góc BOC. Cho biết BOM=35°, tính số đo của góc

Đáp án:

Tia OM là tia phân giác của góc nên

BOC=2.BOM=2.35°=70°

Tia OC là tia phân giác của góc nên

AOB=2.BOC=2.70°=140°

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có BOM< BOA (35° < 140°). 

Nên tia OM nằm giữa hai tia OB và OA.

Do đó  BOM+ AOM= AOB .

Suy ra  AOM=140°-35°=105°

Bài 2: a) Vẽ góc xOy có số đo 44°
b) Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy ở ý trên.

Đáp án:

1. a) Vẽ tia Ox .
   Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm O của tia Ox và tia Ox đi qua vạch 0°.
   Vẽ tia Oy đi qua vạch 44° của thước. Ta vẽ được yOx = 44°.
   b) Vì tia Ot là tia phân giác của xOy nên ta có xOt=tOy=xOy2=22°
   Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểmO của tia Ox và tia Ox đi qua vạch O°. Vẽ tia Ot đi qua vạch 22° và tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy, ta được tia phân giác Ot của xOy.

Bài 3: Vẽ tia phân giác của các góc được cho dưới đây

Đáp án:

Cách 1: Dùng thước kẻ hai lề vẽ tia phân giác dựa theo tính chất hình thoi có hai đường chéo là hai đường phân giác. Ta có các tia phân giác cần vẽ, riêng ý c) là góc bẹt vì vậy kẻ vuông góc ta có tia phân giác

Cách 2: Dùng thước đo góc ta tiến hành đo góc cần dựng tia phân giác áp dụng tính chất chia
đôi góc ta vẽ góc nhỏ có số đo bằng một nửa góc đã cho có chung 1 cạnh, riêng ý c) là góc bẹt
vì vậy kẻ vuông góc ta có tia phân giác

Bài 4: Vẽ tia phân giác của K được cho dưới đây

Đáp án:

Vẽ đường tròn tâm K bán kính R cắt hai cạnh của K tại I; J
Vẽ các đường tròn Tâm I; J có cùng bán kínhr cắt nhau tại L
Vẽ tia KL
Khi đó tia phân giác của K là tia KL.

Bài 5: Cho hai góc kề bù xOy ; yOz sao cho xOy=120°

1. a) Tính yOz
2. b) Gọi Ot là tia phân giác của yOz. Chứng tỏ tOy = 14xOy

Đáp án:

1. a) Vì hai góc xOy; yOz là hai góc kề bù nên:

yOz = 180°-120° = 60°

Vậy yOz = 60°

1. b) Vì Ot là tia phân giác của yOz nên ta có:

tOy=tOz=12yOz=1260°=30°

Mà xOy=120° vậy tOy = 14xOy

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình vẽ. Biết O1= O2,  O3= O4 và hai tia Ox, On đối nhau. Chỉ ra các tia phân giác trên hình bên. Tính số đo của mOy.

Đáp án:

Vì O1=O2 → Oy là tia phân giác của xOz

Vì O3=O4 → Om là tia phân giác của nOz

Ta có mOz+ zOy= mOy=12180°

Bài 2: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy và Ot sao cho xOy=30°; xOt=70°.

1. a) Tính yOt? Tia Oy có là tia phân giác của xOt không? Vì sao?
2. b) Gọi tia Om là tia đối của tia Ox. Tính số đo của mOt?

Đáp án:

1. a) Vì xOy< xOt 30°<70°→ Tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Ot

xOy+yOt=xOt→ yOt=70°-30°=40°

Vậy yOt=40°

Oy không là tia phân giác của xOt vì:

xOyyOt 30°≠40°

1. b) Vì tia Om là tia đối của tia Ox nên tia Ot nằm giữa hai tia Om và Ox

Suy ra: xOt+ tOm= xOm→ tOm=180°-70°=110°

Vậy tOM=110°

Bài 3: Cho xOy. Vẽ yOz kề bù với xOy. Vẽ xOt kề bù với xOy. Vẽ On là phân giác yOz. Vẽ Om là phân giác xOt. Khi đó zOn và xOm có phải là hai góc đối đỉnh hay không?

Đáp án:

Vì yOz kề bù với xOy nên Ox và Oz là hai tia đối nhau, vì xOy kề bù với xOt nên Oy và Ot là hai tia đối. Ta có yOz= xOt (đối đỉnh).

Do On và Om lần lượt là phân giác yOz và xOt nên yOn = nOz

xOm= mOt.  Lại có xOy+xOt=180°

xOy+xOm+mOt=180°

xOy+yOn+xOm=180°

xOn+xOm=180°

Hay xOn và xOm kề bù.

Bài 4: Cho AOB và BOC là hai góc kề bù. Biết BOC = 5.AOB

1. a) Tính số đo mỗi góc.
2. b) Gọi OD là tia phân giác của BOC. Tính số đo AOD

Đáp án:

1. a) Vì AOB và BOC là hai góc kề bù nên:

AOB + BOC = 180°

Mà BOC = 5.AOB →6.AOB=180°

Do đó: AOB = 180° :6=30°; BOC=5.30°=150°

1. b) Vì OD là tia phân giác của BOC nên BOD = DOC = 12BOC=75°

Vì DOA và DOC là hai góc kề bù nên: DOA + DOC = 180°

Do đó DOA = 180°-DOC=180°-75°=105°

Bài 5: Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ các tia Oy, Oz sao cho xOz-100°; xOy=30°; Vẽ tia Ot ở trong góc yOz sao cho yOt=20°.

1. a) Tia Ot có phải là tia phân giác của góc yOz không ? Vì sao ? 
2. b) Giải thích vì sao tia Ot là tia phân giác của góc xOz

Đáp án:

1. a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOy< xOz (30° < 100°) nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.

Do đó xOy + yOz=xOz

Suy ra yOz=100°-30°=70°.

Tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz nên yOt+ zOt= yOz.

Do do zOt=70°-20° = 50° 

Vì zOt> yOt (50° > 20°) nên tia Ot không là tia phân giác của góc yOz.

1. b) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz có zOt< zOx (50° < 100°) nên tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Ox. (1)

Do đó zOt+ xOt= xOz . Suy ra xOt=100°-50°=50°.

Vậy xOt= zOt. (2) 

Từ (1) và (2) suy ra tia Ot là tia phân giác của góc xOz.

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia , vẽ tia , sao cho BAC=50°, BAD=100°.

1. a) Trong ba tia AB, AC, AD thì tia nào nằm giữa hai tia còn lại?  Vì sao?
2. b) So sánh góc BAC và góc CAD.
3. c) Tia có phải là tia phân giác của góc không? Vì sao?

Đáp án:

1. a) Vì AC, AD nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia , mà BAC<BAD (do ) nên tia AC nằm giữa hai tia và .
2. b) Theo tính chất cộng góc ta có

BAD=BAC+CADCAD=BAD-BAC=100°-50°=50°. 

Suy ra BAC=CAD=50°.

1. c) Do tia nằm giữa hai tia và lại có BAC=CAD=50° nên là phân giác của .

Bài 2: Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia , vẽ  AOB=60° ;  AOC=120°.

1. a) Tính BOC
2. b) Chứng tỏ tia là tia phân giác AOC.
3. c) Vẽ tia OD là tia đối của tia OA. Tính DOC

Đáp án:

Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia ta có :  AOB<AOC  60° < 120°

Suy ra tia nằm giữa hai tia và. AOB+BOC=AOC 

Hay 60°+BOC=120°⇒BOC=60°  

Ta có: tia nằm giữa hai tia và  AOB=BOC=60° 

Suy ra tia là tia phân giác AOC.

Vẽ tia là tia đối của tia (gt) AOC;COD  là hai góc kề bù.

AOC+COD=180° hay 120°+DOC=180°⇒DOC=60° 

Bài 3: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy và Ot sao cho xOy=30°;xOt=70°

1. a) Tính yOt? Tia Oy có là tia phân giác của  xOt không? Vì sao?
2. b) Gọi tia Om là tia đối của tiaOx .Tính số đo của mOt
3. c) Gọi Oz là tia phân giác của mOt. Tính số đo của yOz

Đáp án:

1. a) Vì xOy<xOt   (30°<70°) Tia nằm giữa hai tia Ox và Ot

 xOy+yOt=xOtyOt=70°-30°=40°

Vậy yOt=40° không là tia phân giác của  xOt vì: xOyyOt   (30°≠40°)

1. b) Vì tia là tia đối của tia nên tia nằm giữa hai tia và

suy ra: xOt+tOm=xOmtOm=180°-70°=110°

Vậy tOm=110°

1. c)  Vì là tia phân giác của tOm nên tOz=110°:2=55° mà tia nằm giữa hai tia Oz và nên ta có:  yOz=yOt+tOz=40°+55°=95°. 

Vậy yOz=95°

Bài 4: Cho xOy=120°. Bên trong xOy, vẽ tia sao cho yOm=30°  và vẽ tia sao cho yOn=90°.

1. a) So sánh số đo các  xOn và yOm.
2. b) Gọi là tia phân giác của xOy. Chứng tỏ cũng là tia phân giác của  mOn.

Đáp án:

1. a) Theo tính chất cộng góc, ta có: 

xOn=xOy-yOm=30°yOm=xOy-xOm=30°

Vậy  xOn=yOm

1. b) Vì là tia phân giác của xOy

nên: xOt=yOt=xOy2=60°

Từ đó, ta có nOt=xOt-xOn=30°;mOt=yOt-yOm=30°

Mặt khác, mOn=yOn-yOm=60°

Do đó, nOt=mOt=mOn2 (cùng bằng 30°).

Vậy cũng là tia phân giác của  mOn.

Bài 5: Cho góc xOy. Vẽ tia là tia phân giác của  xOy. Vẽ tia là tia phân giác của  xOz. Vẽ tia là tia phân giác của yOz.

1. a) Chứng tỏ tia là tia phân giác của
2. b) Chứng tỏ xOy=4tOz.
3. c) Tính giá trị lớn nhất của góc .

Đáp án:

1. a) Theo tính chất tia phân giác của một góc, ta có:

xOz=yOz=12xOy

xOt=tOz=12xOz                         (1)

zOm=yOm=12yOz

Từ đó, suy ra tOz=mOz Mặt khác, và cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia cùng thuộc nửa mặt phẳng còn lại. 

Do đó, tia nằm giữa hai tia và . Vậy tia là tia phân giác của  tOm.

12. b) Từ (1), ta suy ra tOz=12xOz=12.12xOy=14xOy Do đó, xOy=4tOz
13. c) Từ ý a), suy ra tOm=2tOz

Kết hợp với ý b), ta có tOm=12xOy 

Mà góc xOy có số đo lớn nhất bằng (góc bẹt) nên góc tOm có số đo lớn nhất bằng Nên tOm=180°-(45°+45°)=90°.