CHỦ ĐỀ 1: DAO ĐỘNG

BÀI 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

(24 câu)

1. NHẬN BIẾT (8 câu)

Câu 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt + π/2) cm. Xác định biên độ, chu kỳ và vị trí ban đầu của vật?

Giải:

Phương trình chuẩn dao động điều hòa x = Acos(ωt + φ)

Theo đề bài ta có : x = 4cos(2πt + π/2)

• Biên độ dao động của vật : A = 4 cm

• Chu kì dao động T=2π=2π2π=1s

• Thời điểm ban đầu là lúc t = 0, thay vào phương trình, được x = 4cos (π/2) = 0, 

=> Thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí cân bằng.

Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ 0,5π s và biên độ 2 cm. Xác định độ lớn vận tốc của chất điểm tại vị trí cân bằng 

Giải:

v=2πT= 2π0,5π

Câu 3: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo một quỹ đạo dài 12 cm. Tính biên độ dao động của vật này. 

Giải:

Biên độ dao động của vật là: A=L2=6cm

Câu 4: Một vật dao động điều hòa có phương trình dao động x = 5cos(2πt +π) cm. Xác định gia tốc của vật khi x = 3 cm

Giải:

Gia tốc của vật khi x = 3 cm:

a=-2x=-(2π)2.3=-120cm/s2

Câu 5: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox theo phương trình x = 5cos4πt (x tính bằng cm, t tính bằng s. Tại thời điểm t = 5 s, vận tốc của chất điểm này có giá trị bằng bao nhiêu? 

Giải:

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 5s

v=x'=-ωAsin ( ωt+φ)=4πsin 4 π.5=0

Câu 6: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là cm/s2. Xác định biên độ dao động của chất điểm

Giải:

Khi chất điểm qua VTCB thì có tốc độ cực đại vmax = Aω = 20 cm/s.

Áp dụng hệ thức độc lập thời gian:

v22A2+a24A2=1ω=4032202-102a2vmax22

Vậy biên độ dao động của chất điểm là A = vmax/ω = 20/4 = 5 cm.

Câu 7: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm, Trong 10 giây vật thực hiện được 20 dao động. Xác định phương trình dao động của vật biết rằng tại thời điểm ban đầu vật tại ví trí cân bằng theo chiều dương.

Giải:

Ta có: Phương trình dao động của vật có dạng: x = A.cos(ωt + φ) cm

Trong đó:

• A = 5 cm

• f = N/t = 20/10 = 2 Hz → ω = 2πf = 4π (rad/s).

• Tại t = 0 s vật đang ở vị trí cân bằng theo chiều dương

{x=5cosφ=0 v>0 {cosφ=0 sinφ<0 φ=-2

 Phương trình dao động của vật là: x = 5cos(4πt - π/2)cm

Câu 8: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 6cm, Biết cứ 2s vật thực hiện được một dao động, tại thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí biên dương. Xác định phương trình dao động của vật.

Giải:

Phương trình dao động của vật có dạng: x = A cos(ωt + φ) cm 

Trong đó:

• A = L/2 = 3cm.

• T = 2 s

• ω = 2π/T = π (rad/s).

Tại t = 0s vật đang ở vị trí biên dương

{Acosφ=A v=0 {cosφ=1 sinφ=0 φ=0 rad

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 3cos(πt) cm

2. THÔNG HIỂU (8 câu)

Câu 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Trong khoảng thời gian 90 giây, vật thực hiện được 180 dao động. Lấy π2 = 10.

1. a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.
2. b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật..

Giải:

1. a) Ta có Δt=N.TT=ΔtN=90180=0,5s

Từ đó ta có tần số dao động là : f=1T=10,5=2(Hz)

1. b) Tần số góc dao động của vật là

ω=2πT=2π0,5=4π(rad/s)

Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật được tính bởi công thức:

{vmax a24π22max

Câu 2: Một vật dao động điều hòa có vmax = 16π (cm/s); amax = 6,4 (m/s2 ). Lấy π2 = 10.

1. a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.
2. b) Tính độ dài quỹ đạo chuyển động của vật.
3. c) Tính tốc độ của vật khi vật qua các li độ x=-A2;x=A32

Giải:

1. a) Ta có: 

{vmax a22max{ ω=amaxvmax=64016π=4π(rad/s)

Từ đó ta có chu kì và tần số dao động: T=2π=0,5s;f=2π=2Hz

1. b) Biên độ dao động A thỏa mãn: A=vmax16π4π

Vậy độ dài quỹ đạo chuyển động là 2A = 8 (cm).

1. c) Áp dụng công thức tính tốc độ của vật ta được:

Khi x=-A2v=ωA2-x2=4πA2-A24=4πA32=8π3cm/s

Khi x=A32v=ωA2-x2=4πA2-3A24=4πA2=8πcm/s

Câu 3: Biểu thức li độ của vật dao động điều hòa có dạng: x=8cos 2 2πt+6. Xác định chu kì dao động của vật 

Giải:

Ta có: 

x=8cos 2 2πt+6=8cos 2 4πt+3-=8cos 2 4πt-2π3-

Chu kì dao động của vật là: T=2π4π=0,5s

Câu 4: Biểu thức li độ của vật dao động điều hòa có dạng: x=-8cos 2 2πt+6

Xác định biên độ dao động A và pha ban đầu φ của vật

Giải:

Ta có:

x=-8cos 2 2πt+6=8cos 4πt+3- =8cos 2 4πt-2π3

Biên độ dao động của vật: A = 8cm 

Pha ban đầu φ của vật: φ=-2π3

Câu 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc ω. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí có toạ độ dương và có vận tốc bằng − wA2. Phương trình dao động của vật là:

Giải:

Ta có: {x = Acosωt +  v = -ωAsinωt + 

t = 0 ⇒ {x = Acosφ>0 v = -ωAsinφ =-ωA2<0 {φ=+6 x = Acosωt + 6 

Câu 6: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Trong khoảng thời gian 90 giây, vật thực hiện được 180 dao động. Lấy π2 = 10.

1. a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.
2. b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật..

Giải:

1. a) Ta có Δt=N.TT=ΔtN=90180=0,5s

Từ đó ta có tần số dao động là : f=1T=10,5=2Hz

1. b) Tần số góc dao động của vật là

ω=2πT=2π0,5=4π rad/s

Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật được tính bởi công thức:

{vmax=ωA=4π.10=40π amax=2A=4π2.10=1600 cm/s2

Câu 7: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ 0,314s và biên độ 8cm. Tính vận tốc của chất điểm khi nó đi qua vị trí cân bằng và khi khi nó đi qua vị trí li độ 5cm

Giải:

A2=x2+v22=>v=A2-x2

Vì thế cần tìm ω, A và x 

Theo đề bài: A = 8cm

Tần số góc dao động của chất điểm 

ω=2πT=2.3,140,314=20 rad/s

Tại vị trí cân bằng x = 0 thay vào v=A2-x2=>v=ωA=160 cm/s

Tại vị trí x = 5 cm thay vào v=A2-x2=125 cm/s

Câu 8: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt + π/2) cm. Khi vật có li độ x = 2 cm thì vật có tốc độ là bao nhiêu?

Giải:

Từ phương trình x = 4cos(2πt + π/2) cm, ta xác định được các đại lượng sau:

Biên độ A = 4 (cm), tốc độ góc ω = 2π (rad/s)

Khi x = 2 (cm), áp dụng hệ thức liên hệ ta được

x2A2+v22A2=1

v=ωA2-x2=2π42-22=43  cm/s 

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Câu 1: Một vật dao động điều hòa có gia tốc cực đại là 314 cm/s2 và tốc độ trung bình trong một chu kỳ là 20 cm/s. Lấy π = 3,14. Xác định biên độ dao động của vật

Giải:

Trong một chu kì: vtb=2ωAω=vtb2A (2)

Lại có: a22vtb24Amax

Từ (1) và (2) A=2.vtb24amax 

Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương nằm ngang trên đoạn MN = 2a. Thời gian ngắn nhất để nó đi từ M sang N là 1s. Tại thời điểm ban đầu chất điểm có li độ a/2 theo chiều dương. Viết phương trình dao động của chất điểm.

Giải:

Thời gian ngắn nhất để nó đi từ M sang N là 1s ⇒ T = 2s ⇒ ω = π rad/s

Tại thời điểm ban đầu chất điểm có li độ (a/2) : (a/2) = acosφ ⇒ φ = π/3 và φ = -π/3

Do chất điểm đi theo chiều dương ⇒ φ = -π/3

Phương trình dao động của chất điểm là: x = acos(πt - π/3)

Câu 3: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 40cm. Khi ở vị trí có li độ x = 10cm vật có vận tốc 20π√3 cm/s. Tính vận tốc và gia tốc cực đại của vật.

Giải:

Biên độ dao động của vật: A=L2=402=20 cm 

Áp dụng hệ thức độc lập 

A2=x2+v22=>ω=vA2-x2=2π rad/s

Từ đó dễ dàng tính được 

vmax=ωA=2π.20=40πcms

amax=2A=800 cm/s2

Câu 4: : Một vật dao động điều hòa theo phương trình x=5cos2πt-4 cm. Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t1 = 1s đến t2 = 4,825s

Giải:

T=2π=1s;   Δt=t2-t1=3,625=3T+T2+T8

Tại thời điểm T =1s vật ở vị trí có li độ x1=2,52 cm; sau 3,5 chu kì vật đi được quãng đường 14A = 70 cm và đến vị trí có li độ x2=-5 cm

Trong 18 chu kì tiếp theo kể từ vị trí có li độ-2,52 cm vật đi đến vị trí có li độ x2 = -5 nên đi được quãng đường 5-2,52=1,46 cm

Vậy quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 là: 

ΔS=70+1,46=71,46 cm

Câu 5: Một vật dao động theo phương trình x = 4.cos(πt6) (cm) (t đo bằng giây). Tại thời điểm t1 li độ là 2√3cm và đang giảm. Tính li độ sau thời điểm t1 là 3 (s).

Giải:

Dùng PTLG:{x=4cosπt6=23 v=x' =-64sinπt6<0

⇒ πt6 = 6

⇒ x (t+3) = 4cos6 (t+3)(s)

⇒ x (t+3) = 4cos(πt6 + 2) = −2(cm)

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x=3sin5πt+6 (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = + 1 cm.

Giải:

Theo đề bài ta có: 

x=3sin5πt+6=1=>sin5πt+6=13

=>[5πt+6=-0,11π+k2π 5πt+6=0,89π+n2π =>[t=-0,01+0,4k t=0,14+0,4n  

Từ yêu cầu bài toán ta chỉ có thể nhận 

[k=1;2 n=0;1;2    vì 0t1

Như vậy, có cả 5 lần chất điểm đi qua vị tí có li độ x=1 cm 

Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x=6cos5πt-3 (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Từ thời điểm t1=112s đến thời điểm t2 = 1,5s, chất điểm đi qua vị trí có vận tốc v=32vmax mấy lần?

Giải:

Ta có: 

T=2π=2π2π=1s

Từ phương trình x=6cos5πt-3 (cm/s)

Tại thời điểm t1=112s thì  ∅v1=2π.112+6=3 

Δt=t2-t1=1712s=1T+5T12    → Δφ=2π+5π6

Chất điểm đi qua vị trí có vận tốc: v=32vmax=3212π=63

Theo hình vẽ, nhận thấy có 2 vị trí biểu diễn P và Q trên vòng tròn mà vật có vận tốc v= 6√3π cm/s.

Trong Δφ1 = 2π ; 1 chu kỳ vật có hai lần có vận tốc v thỏa mãn.

Còn lại Δφ2 = 5π/6 từ M → N vật không có lần nào có vật tốc thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Vậy trong khoảng thời điểm t1=112s đến thời điểm t2 = 1,5s, chất điểm đi qua vị trí có vận tốc v=32vmax 2 lần.

Câu 3: Một vật thực hiện dao động điều hoà với biên độ A tại thời điểm t1 = 1,2 s vật đang ở vị trí x = A2 theo chiều âm, tại thời điểm t2 = 9,2 s vật đang ở biên âm và đã đi qua vị trí cân bằng 3 lần tính từ thời điểm t1. Hỏi tại thời điểm ban đầu thì vật đang ở đâu và đi theo chiều nào?

Giải:

Chọn lại gốc thời gian t = t1 = 1,2 s thì pha dao động có dạng:  ϕ = ωt + 3

Từ M1 quay một vòng (ứng với thời gian T) thì vật qua vị trí cân bằng 2 lần, rồi quay tiếp một góc 2π3 (ứng với thời gian T3) vật đến biên âm và tổng cộng đã qua vị trí cân bằng 3 lần.

Ta có: T + T3 = 9,2 − 1,2⇒ T = 6(s)

⇒ ω = 2πT = 3 (rad/s)

Để tìm trạng thái ban đầu ta cho t = − 1,2 s thì

Φ= - 1,2π3 + 3 = − 15 ⇒ {x =Acos∅=0,98A v=-Awsin∅>0