CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG

BÀI 3: VẬN TỐC, GIA TỐC TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. NHẬN BIẾT

Câu 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x= Acos(ωt + φ).

1. a) Lập công thức tính vận tốc và gia tốc của vật.
2. b) Ở vị trí nào thì vận tốc bằng 0 ? Ở vị trí nào thì gia tốc bằng 0 ?
3. c) Ở vị trí nào thì vận tốc có độ dài cực đại ? Ở vị trí nào thì gia tốc có độ lớn cực đại?

Giải:

1. a) Công thức vận tốc v = x'(t) = – ωAsin(ωt + φ)

Công thức gia tốc a = v'(t) = – ω²Acos(ωt + φ) hay a = – ω²x

1. b) Tại vị trí biên x = ±A thì vận tốc bằng không.

Tại vị trí cân bằng x = 0 thì gia tốc bằng không.

1. c) Tại vị trí cân bằng x = 0, vận tốc cực đại.

Tại vị trí biên x = ±A, gia tốc có độ lớn cực đại.

Câu 2: Một chất điểm có khối lượng m = 100 g dao động điều hoà theo phương trình :  x=5cos(2πt+π6). Lấy  π2≈10. Xác định li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm t = 5 s.

Giải:

Tại t = 5 s, li độ, vận tốc, gia tốc, lực hồi phục của vật lần lượt là:

Câu 3: Một vật dao động điều hòa có phương trình dao động x = 5cos(2πt +π) cm. Xác định gia tốc của vật khi x = 3 cm

Giải:

Gia tốc của vật khi x = 3 cm:

Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox theo phương trình x = 5cos4πt (x tính bằng cm, t tính bằng s. Tại thời điểm t = 5 s, vận tốc của chất điểm này có giá trị bằng bao nhiêu?

Giải:

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 5s

Câu 5: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là cm/s2. Xác định biên độ dao động của chất điểm

Giải:

Khi chất điểm qua VTCB thì có tốc độ cực đại vmax = Aω = 20 cm/s.

Áp dụng hệ thức độc lập thời gian:

Vậy biên độ dao động của chất điểm là A = vmax/ω = 20/4 = 5 cm.

Câu 6: Một vật dao động điều hòa với tần số góc 5 rad/s. Khi vật đi qua li độ 5cm thì nó có tốc độ là 25cm/s. Xác định biên độ dao động của vật

Giải:

Ta có:

 cm

Câu 7: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình  t được tính bằng giây. Tại thời điểm chất điểm có tốc độ 10 cm/s thì nó cách vị trí cách vị trí cân bằng một đoạn bằng bao nhiêu?

Giải:

Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình  t được tính bằng giây. Tại thời điểm chất điểm cách vị trí cân bằng một đoạn 5cm thì nó có tốc độ bằng bao nhiêu?

Giải:

Câu 9: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 6cos(20t + φ) (cm; s). Khi chất điểm có li độ 2cm thì tốc độ của nó là

Giải:

Câu 10: Phương trình dao động của một vật là: . Xác định li độ, vận tốc, gia tốc của vật khi t = 0,25s

Giải:

Thay t = 0,25s vào phương trình li độ ta có:

Thay t = 0,25s vào phương trình vận tốc ta có:

Thay t = 0,25s vào phương trình gia tốc ta có:

2. THÔNG HIỂU

Câu 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Trong khoảng thời gian 90 giây, vật thực hiện được 180 dao động. Lấy π² = 10.

1. a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.
2. b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật..

Giải:

1. a) Ta có

Từ đó ta có tần số dao động là :

1. b) Tần số góc dao động của vật là

Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật được tính bởi công thức:

Câu 2: Một vật dao động điều hòa có v_max = 16π (cm/s); a_max = 6,4 (m/s² ). Lấy π² = 10.

1. a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.
2. b) Tính độ dài quỹ đạo chuyển động của vật.
3. c) Tính tốc độ của vật khi vật qua các li độ

Giải:

1. a) Ta có:

Từ đó ta có chu kì và tần số dao động:

1. b) Biên độ dao động A thỏa mãn:

Vậy độ dài quỹ đạo chuyển động là 2A = 8 (cm).

1. c) Áp dụng công thức tính tốc độ của vật ta được:

Khi

Khi

Câu 3: Một vật dao động điều hòa với vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng là v = 20cm/s. Khi vật đến vị trí biên thì có giá trị của gia tốc là a = 200 cm/s². Chọn gốc thời gian là lúc vận tốc của vật đạt giá trị cực đại theo chiều dương

Giải:

Phương trình dao động có dạng: x = A cos(ωt + φ) cm.

Trong đó:

v_max = A.ω = 20 cm/s

a_max = A.ω² = 200 cm/s²

Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ 0,314s và biên độ 8cm. Tính vận tốc của chất điểm khi nó đi qua vị trí cân bằng và khi khi nó đi qua vị trí li độ 5cm

Giải:

Vì thế cần tìm  A và x

Theo đề bài: A = 8cm

Tần số góc dao động của chất điểm

Tại vị trí cân bằng x = 0 thay vào

Tại vị trí x = 5 cm thay vào

Câu 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt + π/2) cm. Khi vật có li độ x = 2 cm thì vật có tốc độ là bao nhiêu?

Giải:

Từ phương trình x = 4cos(2πt + π/2) cm, ta xác định được các đại lượng sau:

Biên độ A = 4 (cm), tốc độ góc ω = 2π (rad/s)

Khi x = 2 (cm), áp dụng hệ thức liên hệ ta được

Câu 6: Chất điểm dao động điều hòa có phương trình vận tốc v = 4πcos2πt (cm/s). Gốc tọa độ ở vị trí cân bằng. Xác định li độ và vận tốc tại thời điểm t = 0

Giải:

Vì v = 4πcos2πt (cm/s) nên x = 2cos(2πt - π/2) cm;

cosφ = cos(-π/2) = = 0 → x = 0 → |v| = v_max; φ < 0 → v > 0.

Câu 7: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x = 8cos(πt + π/4) (cm). Gốc tọa độ ở vị trí cân bằng. Tại gốc thời gian (t = 0) xác định li độ và vận tốc của chất điểm.

Giải:

Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là 40√3 cm/s. Lấy π = 3,14. Viết phương trình dao động của chất điểm

Giải:

Phương trình của vật dao động

Câu 9: Vật dao động điều hòa với tần số f = 5 Hz. Khi t = 0, vật có li độ x = 4 cm và vân tốc v = 125,6 cm/s. Viết phương trình dao động của vật

Giải:

Phương trình dao động của vật:

Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là cm/s2. Xác định biên độ dao động của chất điểm

Giải:

Khi chất điểm qua VTCB thì có tốc độ cực đại vmax = Aω = 20 cm/s.

Áp dụng hệ thức độc lập thời gian:

Vậy biên độ dao động của chất điểm là A = vmax/ω = 20/4 = 5 cm.

3. VẬN DỤNG

Câu 1: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O. Trong thời gian 20s vật thực hiện được 40 lần dao động. Tại thời điểm ban đầu vật chuyển động qua vị trí cân bằng theo chiều âm của trục toạ độ với vận tốc 20π cm/s. Viết phương trình dao động của vật

Giải:

Vật dao động điều hoà theo phương trình tổng quát x = Acos(ωt + φ), trong khoảng thời gian 20s vật thực hiện được 40 lần dao động suy ra chu kì dao động

T = 0,5s, tần số góc ω = 4π rad/s.

Tại thời điểm ban đầu t = 0 có x₀ = 0, v₀ = 20π cm/s. Vận tốc của vật khi vật chuyển động qua vị trí cân bằng là vận tốc cực đại v_max = ωA suy ra A = 5 cm

Tại thời điểm ban đầu vật chuyển động theo chiều âm của trục toạ độ nên φ = π/2

Vậy phương trình dao động của vật là 

Câu 2: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 40cm. Khi ở vị trí có li độ x = 10cm vật có vận tốc 20π√3 cm/s. Tính vận tốc và gia tốc cực đại của vật.

Giải:

Biên độ dao động của vật:

Áp dụng hệ thức độc lập

Từ đó dễ dàng tính được

Câu 3: Vật dao động điều hòa theo phương trình . Tính vận tốc trung bình của vật trong 1,1s đầu tiên

Giải:

Ta có:

Quãng đường vật đi được là: S = 5.4A + 2A = 22A = 44cm

Vận tốc trung bình:

Câu 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình . Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t₁ = 1s đến t₂ = 4,825s

Giải:

Tại thời điểm T =1s vật ở vị trí có li độ ; sau 3,5 chu kì vật đi được quãng đường 14A = 70 cm và đến vị trí có li độ

Trong  chu kì tiếp theo kể từ vị trí có li độ vật đi đến vị trí có li độ x₂ = -5 nên đi được quãng đường  cm

Vậy quãng đường vật đi được từ thời điểm t₁ đến thời điểm t₂ là:

Câu 5: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ 0,314s và biên độ 8cm. Tính vận tốc của chất điểm khi nó đi qua vị trí cân bằng và khi khi nó đi qua vị trí li độ 5cm

Giải:

. Vì thế cần tìm  và

Theo đề:

Tần số góc dao động của chất điểm:

Tại vị trí cân bằng  thay vào .

Tại vị trí  thay vào .

Câu 6: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 40cm. Khi ở vị trí có li độ x = 10cm vật có vận tốc 20π√3 cm/s. Tính vận tốc và gia tốc cực đại của vật.

Giải:

Tần số góc:

Câu 7: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo một quỹ đạo thẳng dài 14 cm với chu kì 1 s. Từ thời điểm vật qua vị trí có li độ 3,5 cm theo chiều dương đến khi gia tốc của vật đạt giá trị cực tiểu lần thứ hai, vật có tốc độ trung bình là bao nhiêu?

Giải:

Quȳ đạo thẳng dài  nên biên độ

Gia tốc của vật đạt giá trị cực tiều:

Khi đó:

Quāng đường vật đi được từ thời điềm vật đi qua vị trí có li độ  theo chiều dương đến khi gia tốc của vật đạt giá trị cực tiều lần thứ hai là: .

Khoảng thời gian tương ứng: .

Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian này là:

4. VẬN DỤNG CAO

Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình  (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = + 1 cm.

Giải:

Theo đề bài ta có:

Từ yêu cầu bài toán ta chỉ có thể nhận

Như vậy, có cả 5 lần chất điểm đi qua vị tí có li độ

Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình  (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Từ thời điểm  đến thời điểm t₂ = 1,5s, chất điểm đi qua vị trí có vận tốc  mấy lần?

Giải:

Ta có:

Từ phương trình    (cm/s)

Tại thời điểm  thì   

Chất điểm đi qua vị trí có vận tốc:

Theo hình vẽ, nhận thấy có 2 vị trí biểu diễn P và Q trên vòng tròn mà vật có vận tốc v= 6√3π cm/s.

Trong Δφ₁ = 2π ; 1 chu kỳ vật có hai lần có vận tốc v thỏa mãn.

Còn lại Δφ₂ = 5π/6 từ M → N vật không có lần nào có vật tốc thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Vậy trong khoảng thời điểm  đến thời điểm t₂ = 1,5s, chất điểm đi qua vị trí có vận tốc  2 lần.

Câu 3: Một chất điểm động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt - π/3) cm (t tính bằng giây). Sau khoảng thời gian 4,2s kể từ t = 0 chất điểm đi qua vị trí có li độ - 5cm theo chiều dương bao nhiêu lần?

Giải:

Vị trí bắt đầu quét: ϕ₀ = 5π.0 - π/3 = π/3

Sau 4,2 giây, góc quét thêm là: ∆ϕ = ω.∆t = 4,2.5π = 10.2π + π

Trong một chu kỳ vật qua vị trí x = -5 theo chiều dương 1 lần tại P.

Trong Δφ₁ = 10.2π ứng với 10 chu kỳ vật vị trí x = -5 theo chiều dương 10 lần tại P

Còn lại Δφ₂ = π từ M → N vật không qua vị trí x = -5 theo chiều dương.

Vậy trong khoảng thời gian 4,2 giây vật qua vị trí x = -5 theo chiều dương 10 lần.