Đáp án Toán 7 cánh diều Chương VII bài 7: Tam giác cân

BÀI 7: TAM GIÁC CÂN

Khởi động

Câu hỏi: Hai thanh giằng của cầu Long Biên bắc qua sông Hồng ở Thủ đô Hà Nội (hình 68) gợi nên hình ảnh tam giác ABC có sự đối xứng và cân bằng. Tam giác ABC như vậy gọi là tam giác gì?

Đáp án:

Tam giác ABC như vậy gọi là  tam giác cân.

I. Định nghĩa

Bài 1: Trong hình 69, hai cạnh AB và AC của tam giác ABC có bằng nhau hay không?

Đáp án:

Ta có: AB và AC là đường chéo của hai hình chữ nhật có kích thước 2 và 4 ô vuông. Do đó AB = AC.

II. Tính chất

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D (hình 72)

1. Hai tam giác ABD và ACD có bằng nhau hay không? Vì sao?
2. Hai góc B và C có bằng nhau hay không? Vì sao?

Đáp án:

1. a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

AD là tia phân giác góc  có:.

Xét  và  có:

AB = AC

AD chung.

Suy ra

1. b) Do nên .

III. Dấu hiệu nhận biết

Bài 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn . Kẻ AH vuông góc với BC, H thuộc BC (hình 74)

1. Hai tam giác BAH và CAH có bằng nhau hay không? Vì sao?
2. Hai cạnh AB và AC có bằng nhau hay không? Vì sao?

Đáp án:

Do AH  BC nên tam giác AHB và tam giác AHC là hai tam giác vuông tại H.

Xét  vuông tại H có:  

Do đó:

Xét vuông tại H có:

Do đó:

Mà  (giả thiết)

Suy ra .

Xét  vuông tại H và  vuông tại H có:

 (chứng minh trên).

AH chung

Suy ra  (góc nhọn – cạnh góc vuông).

1. b) Do (theo a) nên AB = AC.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua điểm M nằm giữa A và B kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Chứng minh tam giác AMN cân.

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A nên .

Do MN // BC nên  (2 góc đồng vị) và .

Mà  nên

Tam giác AMN có  nên tam giác AMN cân tại A.

Vậy tam giác AMN cân tại A.

IV. Vẽ tam giác cân

V. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của cạnh AC và N là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh BM = CN

Đáp án:

+ Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do M là trung điểm của AC nên

Do N là trung điểm của AB nên .

Mà AB = AC nên AM = AN.

+ Xét  và  có:

AM = AN (chứng minh trên).

 chung.

AB = AC (chứng minh trên).

Suy ra  =  (c - g - c).

Do đó BM = CN ( 2 cạnh tương ứng).

Bài 2: Cho tam giác ABC có =120^∘.Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Đường thẳng qua D song song với AB cắt cạnh AC tại E. Chứng minh rằng tam giác ADE đều.

Đáp án:

+ Do AD là tia phân giác của  nên .

Do DE // AB nên  (2 góc so le trong).

Do đó .

+ Xét có:

Tam giác ADE có  nên tam giác ADE đều.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm cạnh huyền BC. Chứng minh tam giác MAB vuông cân.

Đáp án:

+ Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AM chung.

BM = CM (M là trung điểm của BC).

AB = AC (tam giác ABC cân tại A).

Suy ra ∆AMB = ∆AMC (c - c - c).

Do đó  (2 góc tương ứng).

Mà  nên .

Tam giác ABC vuông cân tại A nên  và .

 .

Ta có: Tam giác MAB có  nên tam giác MAB cân tại M (1).

+ Xét tam giác MAB có:

Suy ra AM ⊥ BM hay tam giác MAB vuông tại M (2).

Từ (1) và (2) suy ra tam giác MAB vuông cân tại M.

Vậy tam giác MAB vuông cân tại M.

Bài 4: Trong hình 76, cho biết các tam giác ABD và BCE là các tam giác đều. A, B, C thẳng hàng. Chứng minh rằng:

1. AD//BE và BD//CE
2. == 120⁰
3. AE = CD

Đáp án:

1. a) Tam giác ABD đều nên AB = BD = DA và .

Tam giác BCE đều nên BC = CE = EB và .

Ta có , mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra AD // BE.

, mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra BD // CE.

1. b) là góc ngoài tại đỉnh B của ∆ABD nên 

⇒

1. c) Xét ∆DBC và ∆ABE có:

DB = AB (chứng minh trên).

BC = BE (chứng minh trên).

Suy ra ∆DBC = ∆ABE(c - g - c).

Do đó CD = EA (2 cạnh tương ứng).

Vậy AE = CD.

Bài 5: Trong thiết kế của một ngôi nhà, độ nghiêng của mái nhà so với phương nằm ngang phải phù hợp với kết cấu của ngôi nhà và vật liệu làm mái nhà. Hình 77 mô tả mặt cắt đứng của ngôi nhà, trong đó độ nghiêng của mái nhà so với phương nằm ngang được biểu diễn bởi số đo góc ở đáy của tam giác ABC cân tại A.

Tính độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang trong mỗi trường hợp sau:

1. a) Góc ở đỉnh Alà (khoảng) 120° đối với mái nhà lợp bằng ngói;
2. b) Góc ở đỉnh Alà (khoảng) 140° đối với mái nhà lợp bằng fibro xi măng;
3. c) Góc ở đỉnh Alà (khoảng) 148° đối với mái nhà lợp bằng tôn.

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A nên

Xét tam giác ABC:  ,

Suy ra

1. a) Khi thì

Vậy khi góc ở đỉnh A khoảng 120° thì độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang là khoảng 30°.

1. b) thì

Vậy khi góc ở đỉnh A khoảng 140° thì độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang là khoảng 20°.

1. c) thì

Vậy khi góc ở đỉnh A khoảng 148° thì độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang là khoảng 16°.