Đáp án Toán 7 cánh diều Chương VII bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

BÀI 9: ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Khởi động

Câu hỏi: Hình 86 minh họa chiếc cân thăng bằng và gợi nên hình ảnh đoạn thẳng AB, đường thẳng d. Đường thẳng d có mối liên hệ gì với đoạn thẳng AB?

Đáp án:

Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

I. Định nghĩa

Bài 1: Quan sát Hình 87:

1. So sánh hai đoạn thẳng IA và IB
2. Tìm số đo của các góc I₁=I₂

Đáp án:

1. a) Ta thấy IA = IB.
2. b) Ta thấy d ⊥ AB nên .

Bài 2: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Biết . Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Đáp án:

Ta có:  

mà  (hai góc kề bù).

Suy ra  hay AM ⊥ BC.

Ta có AM ⊥ BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của BC.

1. Tính chất
   Bài 1: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d, M khác O (Hình 90). Chứng minh rằng:
2. ΔMOA=ΔMOB
3. MA = MB

Đáp án:

1. a) Xét ∆MOA vuông tại O và ∆MOB vuông tại O có:

MO chung.

OA = OB (theo giả thiết).

Do đó ∆MOA = ∆MOB (2 cạnh góc vuông).

1. b) Do ∆MOA = ∆MOB (2 cạnh góc vuông) nên MA = MB (2 cạnh tương ứng).

Bài 2: Hình 91 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3m. Tính chiều dài mái nhà bên phải biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Đáp án:

Do O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB = 3 m.

Vậy chiều dài mái nhà bên phải là 3 m.

Bài 3: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Giả sử M là một điểm khác O sao cho MA = MB.

1. Hai tam giác MOA và MOB có bằng nhau hay không? Vì sao?
2. Đường thẳng MO có là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?

Đáp án:

1. a) Xét ∆MOA và ∆MOB có:

MO chung.

OA = OB (theo giả thiết).

MA = MB (theo giả thiết).

Do đó ∆MOA = ∆MOB (c - c - c).

1. b) Do ∆MOA = ∆MOB (c - c - c) nên OA = OB (2 cạnh tương ứng) và (2 góc tương ứng).

Do OA = OB và O nằm giữa A và B nên O là trung điểm của AB.

Do  mà  nên

Do đó MO ⊥ AB.

Khi đó MO vuông góc với AB tại trung điểm O của AB.

Vậy MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A.

1. Điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?
2. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt canh BC tại H. Đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?

Đáp án:

1. a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do AB = AC nên A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

1. b) Xét ∆AHB vuông tại H và ∆AHC vuông tại H có:

AB = AC (chứng minh trên).

AH chung.

Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra HB = HC (2 cạnh tương ứng).

Mà H nằm giữa B và C nên H là trung điểm của BC.

Ta có AH vuông góc với BC tại trung điểm H của BC nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

III. Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

IV. Bài tập

Bài 1: Trong hình 94, đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh

Đáp án:

Gọi H là giao điểm của CD và AB.

Do C thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên CA = CB.

Do D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên DA = DB.

Xét ∆CHA vuông tại H và ∆CHB vuông tại H có:

CH chung.

CA = CB (chứng minh trên).

Do đó ∆CHA = ∆CHB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra (2 góc tương ứng) (1).

+ Xét ∆DHA vuông tại H và ∆DHB vuông tại H có:

DH chung.

DA = DB (chứng minh trên).

Do đó ∆DHA = ∆DHB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra  (2 góc tương ứng) (2).

Từ (1) và (2) suy ra hay .

Vậy

Bài 2: Trong hình 95 đường thẳng a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:

1. AB // CD
2. ΔMNC = ΔMND
4. AD=BC, .

Đáp án:

1. a) Do a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD nên a ⊥ AB và a ⊥

Do đó AB // CD.

1. b) Xét ∆MNC vuông tại N và ∆MND vuông tại N có:

MN chung.

NC = ND (theo giả thiết).

Do đó ∆MNC = ∆MND (2 cạnh góc vuông).

1. c) Do ∆MNC = ∆MND (2 cạnh góc vuông) nên (2 góc tương ứng).

Do AM // DN nên  (2 góc so le trong).

Do BM // CN nên  (2 góc so le trong).

Do đó

1. d) Do ∆MNC = ∆MND (2 cạnh góc vuông) nên MC = MD (2 cạnh tương ứng).

+ Xét ∆AMD và ∆BMC có:

AM = BM (theo giả thiết).

 (chứng minh trên).

MD = MC (chứng minh trên).

Do đó ∆AMD = ∆BMC (c - g - c).

Suy ra AD = BC (2 cạnh tương ứng) và  (2 góc tương ứng).
Vậy AD = BC và .

1. e) Do ∆AMD = ∆BMC (c - g - c) nên (2 góc tương ứng).

Mà  nên  hay .

Bài 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Gọi a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC. Chứng minh rằng a//b

Đáp án:

a là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên a vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

b là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên b vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Do A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên trung điểm của đoạn thẳng AB và trung điểm của đoạn thẳng BC không trùng nhau.

Do đó a // b.

Bài 4: Cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M không thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB sao cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng MB tại điểm I. Chứng minh:

1. MB = AI + IM
2. MA < MB

Đáp án:

1. a) Đường thẳng d cắt MB tại I nên I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó AI = BI.

Khi đó MB = BI + IM = AI + IM.

1. b) Xét trong tam giác AIM có AI + IM > MA.

Mà AI + IM = MB nên MB > MA.