Giáo án điện tử chuyên đề Toán 11 kết nối Bài 4: Phép quay và phép đối xứng tâm

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG 

Bàn ăn tròn đông người thường được thiết kế sao cho mặt bàn tròn nơi đặt đồ ăn có thể quay quanh tâm của nó. Nhờ đó, đồ ăn trên bàn có thể đi tới được gần từng người, mà vị trí đặt mặt bàn không bị dịch chuyển. Cơ sở toán học nào cho phép thực hiện điều đó?

CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 4: PHÉP QUAY 

VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

NỘI DUNG BÀI HỌC 

1. PHÉP QUAY

• HĐ1. Ở mặt bàn ăn quay nói trên, trong một lần quay, nếu một đĩa thức ăn trên bàn được quay một phần tư vòng tới vị trí mới, thì mỗi đĩa không đặt ở chính giữa bàn có được quay một phần tư vòng tới vị trí mới hay không?

Trả lời:

Mỗi đĩa thức ăn không đặt ở chính giữa bàn nhưng đặt ở trên phần bàn xoay đều quay được một phần tư vòng tới vị trí mới.

KHÁI NIỆM

Cho điểm và góc lượng giác . Phép biến hình biến điểm thành điểm và biến mỗi điểm khác thành điểm sao cho và các góc lượng giác gọi là phép quay tâm góc quay , kí hiệu . Điểm gọi là tâm quay, gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay với góc quay bằng 0 có gì đặc biệt?

Trả lời:

Phép quay tâm O với góc quay bằng 0 biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành chính nó.

Chú ý

- Chiều dương, chiều âm của đường tròn lượng giác được quy ước tương ứng là ngược chiều, cùng chiều quay của kim đồng hồ.

- Hai phép quay có cùng tâm và có hai góc quay sai khác nhau bội của (hay ) thì trùng nhau.

Ví dụ 1: Trong Hình 1.21, là hình vuông có tâm . Hãy chỉ ra ảnh của điểm qua các phép quay

Trả lời:

điểm thành điểm .

Tương tự, phép quay biến điểm thành điểm , phép quay biến điểm thành điểm .

Luyện tập 1. Trong Hình 1.22, tam giác đều. Hãy chỉ ra ảnh của điểm qua phép quay . Gọi là ảnh của qua phép quay . Hỏi và có mối quan hệ gì đối với đường thẳng ?

Trả lời:

Do đều nên và . 

Phép quay biến điểm thành .

Vì là ảnh của qua phép quay  

và

đều, nên

Mà

nên là hình thoi.

Do đó vuông góc với tại trung điểm mỗi đường. 

và đối xứng nhau qua đường thẳng .

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP QUAY

• HĐ2. Khi mặt bàn ăn quay, mặc dù các đĩa thức ăn trên bàn đều dịch chuyển tới vị trí mới nhưng khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn có bị thay đổi hay không?

Trả lời:

Khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn không bị thay đổi khi mặt bàn ăn quay. 

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

TÍNH CHẤT

- Phép quay biến:

+ Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;

+ Tam giác thành tam giác bằng nó;

+ Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm;

+ Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;

+ Tia thành tia;

+ Góc thành góc bằng nó;

+ Đường thẳng thành đường thẳng.

Ví dụ 2: Trong Hình 1.25, là tam giác đều, có tâm . Tìm ảnh của đoạn thẳng và ảnh của tam giác qua phép quay

Trả lời:

Phép quay biến thành , biến thành , biến thành . Do đó, phép quay biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng và biến tam giác thành chính nó.

Luyện tập 2. Trong Hình 1.26, là lục giác đều có tâm . Tìm ảnh của tam giác qua các phép quay

Trả lời:

Qua phép quay , biến thành

Qua phép quay , biến thành .

Qua phép quay , biến thành .

Vận dụng 1. Trong tình huống mở đầu, mặt bàn tròn đặt đồ ăn được thiết kế để có thể quay quanh tâm mặt bàn. Coi mặt bàn tròn là hình tròn tâm , bán kính . Hỏi, khi thực hiện phép quay tâm với góc quay bất kì thì:

- Điểm biến thành điểm nào? 

- Đường tròn biến thành đường tròn nào?

- Vị trí của mặt bàn có bị dịch chuyển hay không?

Trả lời:

Theo định nghĩa phép quay, khi thực hiện phép quay tâm thì:

- Điểm biến thành điểm ;

- Đường tròn biến thành đường tròn ;

- Mỗi điểm trên mặt bàn thì dịch chuyển còn vị trí mặt bàn không dịch chuyển do đường tròn biến thành chính nó.

3. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

• HĐ3. Trong Hình 1.27, hãy chỉ ra ảnh của các điểm qua phép quay tâm , góc quay .

Trả lời:

lần lượt là ảnh của các điểm qua phép quay tâm , góc quay .

KHÁI NIỆM

Phép biến hình biến điểm thành điểm và biến mỗi điểm khác thành điểm sao cho là trung điểm của đoạn thẳng được gọi là phép đối xứng tâm , kí hiệu . Điểm được gọi là tâm đối xứng.

Nhận xét:

+ Phép đối xứng tâm chính là phép quay tâm , góc quay , do đó, nó có đầy đủ các tính chất của phép quay.

+ Nếu là ảnh của qua thì cũng là ảnh của qua . Do đó, nếu hình là ảnh của hình qua thì cũng là ảnh của qua .

+ biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

+ Hình nhận điểm là tâm đối xứng khi và chỉ khi biến hình thành chính nó.

--------------- Còn tiếp ---------------