Nội dung chính Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 4 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

CHƯƠNG IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 2. ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ SIN

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

HĐKP 1:

1. a) cosA = xb x = bcosA.

Vậy ? = x

1. b) 

Xét tam giác CDB vuông tại D, ta có:

a2 = d2 + (c + x)2    (4)

Xét tam giác CDA vuông tại D, ta có:

b2 = d2 + x2 d2 = b2 - x2     (5)

Lại có: cosBAC = - cosCAD = - xb ⟹ 

x = -bcosA           (6)

Thay (5), (6) vào (4), ta có: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

1. c) Tam giác ABC vuông tại A ⟹

 A = 90°

Ta có: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA ⬄ a2 = b2 + c2 - 2bc.cos90° ⬄ a2 = b2 + c2

Kết luận: 

Định lí côsin

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a2 = b2 + c2 - 2bc cosA;

b2 = c2 + a2 - 2ca cosB;

c2 = a2 + b2 - 2ab cosC.

Từ định lí cô sin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

cosA = b2+c2-a22bc;    cosB = c2+a2-b22ca;

cosC = a2+b2-c22ab.

Ví dụ 1 (SGK - tr66)

Thực hành 1:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC2 = AC2 + AB2 - 2AC. AB cosA = 142 + 182 - 2. 14. 18. cos62° 283,3863

⟹ BC = 283,3863 16,834

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

cosB = AB2+BC2-AC22AB. BC = 142+16,8342-1822.14. 16,834 0,3297 ⟹ B 70°45’

cosC = AC2+BC2-AB22AC. BC = 182+16,8342-1422.18. 16,834 0,6788 ⟹ C 47°15’

Vậy BC 16,834; B 70°45’; C 47°15’

Vận dụng 1: 

Gọi các đỉnh của tam giác như trong hình vẽ.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AC.cosA

       = 8002 + 9002 - 2. 800. 900.cos70°

       ≈ 957490,9936

⟹ BC ≈ 978,5147

Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở đầu bờ hồ là 978,5147m.

2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

HĐKP 2: 

a)

1. i) Xét tam giác BDC vuông tại C, ta có:

sinBDC = BCBD = a2R

1. ii) Với tam giác ABC có góc A nhọn, ta có:

BAC = BDC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

⟹ sinBAC = sinBDC = a2R ⟹ 2R = asinA 

Với tam giác ABC có góc A tù, ta có tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O.

⟹ BAC + BDC = 180° 

⟹ sinBAC = sin(180°-BDC) = sinBDC  = a2R ⟹ 2R = asinA

Vậy 2R = asinA

1. b) 

Tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O bán kính BC2 ⟹ 2R = a (1)

Ta có: sinA = sin90° = 1 (2)

Từ (1) và (2) ⟹ 2R = a1 = asinA

Vậy 2R = asinA

Kết luận: 

Định lí sin:

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

asinA = bsinB = csinC = 2R

Từ định lí sin, ta có hệ quả sau:

Hệ quả:

a = 2RsinA;  b = 2RsinB;  c = 2RsinC;

sinA = a2R;     sinB = b2R;     sinC = c2R

Ví dụ 2 (SGK - tr68)

Thực hành 2:

Ta có: P = 180° - M - N 

               = 180° - 34° - 112° = 34°

⟹ Tam giác MNP cân tại N 

⟹ MN = NP = 22

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

NPsinM = MPsinN = MNsinP = 2R

Suy ra: MP = NP.sinNsinM = 22.sin112°sin34° ≈ 36,5.

Vận dụng 2: 

Gọi điểm tháp canh là C, điểm cháy là D (như hình vẽ).

Ta có: BDC = 180° - 35° - 125° = 20°

Áp dụng định lí sin cho tam giác CBD, ta có: BDsinBCD = CBsinBDC = CDsinCBD = 2R

Suy ra: BD = CB.sinBCDsinBDC = 900.sin35°sin20° ≈ 1509,3 (m)

CD = CB.sinCBDsinBDC = 900.sin125°sin20° ≈ 2155,5 (m)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACD, ta có:

AD2 = CA2 + CD2 - 2AC. CD. cosACD

        = 18002 + 2155,52 - 2. 1800. 2155,5. cos34° ≈ 1453014,5

⟹ AD ≈ 1205, 4(m)

Nhận thấy AD < BD nên dẫn nước từ bồn chứa A sẽ dập tắt đám cháy nhanh hơn.

3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC 

HĐKP 3:

1. a) Xét tam giác ABC, đường cao AH:

SABC = 12. AH. BC = 12. ha. a        (1)

1. b) Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

sinC = AHAC = hab ⟹ ha = b. sinC   (2)

1. c) Thay (2) vào (1), ta được: S = 12
2. d) Áp dụng định lí sin, ta có:

asinA = bsinB = csinC = 2R

⟹ sinC = c2R

⟹ S = 12absinC = 12ab. c2R = abc4R

Vậy S = abc4R

HĐKP 4:

12. a) SIBC = 12. r. BC =  12. r. a

    SIAC = 12. r. AC =  12. r. b

    SIAB = 12. r. AB =  12. r. c

1. b) Ta có: SABC = SIBC + SIAC + SIAB

= 12. r. a + 12. r. b + 12. r. c

= r(a+b+c)2

Vậy S = r(a+b+c)2

Kết luận: Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

1) S = 12a ha = 12b hb = 12 c hc;

2) S = 12absinC = 12bcsinA = 12acsinB;

3) S = abc4R;

4) S = pr;

5) S = p(p-a)(p-b)(p-c) (công thức Heron)

Ví dụ 3 (SGK - tr71)

Ví dụ 4 (SGK - tr71)

Thực hành 3:

12. a) S = 12bcsinA = 12. 14. 35. sin60° = 24532

Áp dụng định lí côsin, ta có:

a2 = b2 + c2 - 2bc cosA = 142 + 352 - 2. 14. 35. cos60° = 931

⟹ a = 719

Áp dụng định lí sin, ta có:

R = a2sinA = 7192sin60° = 7573

12. b) Ta có: p = 12. (4 + 5 + 3) = 6

Áp dụng công thức Heron, ta có:

S = p(p-a)(p-b)(p-c) 

= 6. 6-46-5(-3) = 6

Ta có: S = abc4R ⟹ R = abc4S = 4. 5.34.6 = 52.

Vận dụng 3:

Chọn các đỉnh A, B, C như hình vẽ.

Ta có: C = 180° - 48° = 27°

Áp dụng định lí sin, ta có: 

BCsinA = ACsinB = ABsinC = 2R

⟹ BC = AB.sinAsinC = 3,2.sin105°sin27° ≈ 6,8 (m)

S = 12AB. BC. sinB ≈ 12. 3,2. 6,8. sin48°

≈ 8,08 (m2)