Nội dung chính Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

CHƯƠNG V. VECTƠ

BÀI 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

HĐKP1:

1. a) IDC = 45°
2. b) Hai vectơ cần tìm là DI và DC
3. c) DI = IB;  DC= AB

Kết luận:

Cho hai vectơ a khác b khác 0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA=a; OB= b 

Góc AOB với số đo từ 0o đến 180o được gọi là góc giữa hai vectơ a và b.

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là (a, b).

Nếu (a, b) = 90o thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b.

* Chú ý:

- Từ định nghĩa ta có: (a, b) = (b, a )

- Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180o.

- Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a và b là vectơ 

Ví dụ 1: SGK-tr98

Thực hành 1.

Lấy điểm D sao cho AD // BC và AD = BC

(AB, AC) = BAC=60°

(AB, BC) = (AB, AD) = BAD=120°

(AH, BC) = (AH, AD) = HAD=90°

Do hai vectơ BH và BC cùng hướng nên (BH, BC) = 0°

Do hai vectơ HB và BC ngược hướng nên (HB, BC) = 180°.

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A = |F|.|d|.cos45°=10.100.cos45° 

= 5002 (J)

⇒ Kết luận:

Hai vectơ a và b đều khác 0 .

Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a . b, được xác định bởi công thức:

a.b=a. b.cos(a,b).

* Chú ý:

1. a) Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ 

a và b bằng 0, ta quy ước a.b = 0

1. b) Với hai vectơ a và b, ta có ab

⟺ a . b = 0.

2. c) Khi a = b thì tích vô hướng a . b được kí hiệu là a2. Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương của độ dài của vectơ đó.

Ví dụ 2: SGK – tr99,100.

* Chú ý:

Trong Vật lí, tích vô hướng của F và d biểu diễn công A sinh bởi lực F khi thực hiện độ dịch chuyển d. Ta có công thức: A = F. d.

Thực hành 2.

Tam giác ABC vuông cân tại A có BC = 2  AB = AC = 1

1. AB. AC = |AB|. |AC|.cos(AB, AC) = 1. 1. cos90° = 0

AC.BC = |AC|. |BC|. cos(AC, BC) = 1. 2. cos45° = 1

BA.BC = |BA|.|BC|.cos(BA, BC) = 1. 2. cos45° = 1

Thực hành 3.

Ta có: cos(a, b) = a.b|a|.|b| = 1223.8 = 22

(, ) =

Vận dụng 1.

A = 20. 50. cos0° = 1000 (J)

3. TÍNH CHẤT TÍCH VÔ HƯỚNG.

Tính chất:

Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k, ta có:

a . b = b . a

a .( b+ c) = a .b + a .c

(k.a) . b = k. (a . b) = a .(k.b) 

Ví dụ 3: SGK-tr100

* Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

(a - b)2 = a2 - 2a.b + b2

(a - b).( a + b) =a2 - b2

Ví dụ 4: SGK – tr101

Thực hành 4.

2. a) (i+j)2 = i2 + 2i. j + j2 = |i|2 + |j|2 + 2.|i|. |j|. cos90° = 12 + 12 + 0 = 2

(i-j)2 = i2 - 2. j + j2 = |i|2 + |j|2 - 2.|i|. |j|. cos90° = 12 + 12 - 0 = 2

(i + j).(i - j) = i2 - j2 = |i|2 - |j|2 = 12 - 12 = 0

6. b) Ta có: a. b = (2i + 2j)(3i - 3j) = 6(i + j)(i - j) = 6. 0 = 0

(a; b) = 90°

Vận dụng 2.

C1: Áp dụng tích vô hướng

()2 = (1+1)2 = (1)2 + (2)2 + 2. 1. 2

= 1,62+1,62+2.1,6,1,6.cos120° 

= 1,62

=1,6

C2: Áp dụng hình học phẳng

Hình bình hành SO1S'O2 có hai cạnh liên tiếp bằng nhau ⇒ SO1S'O2 là hình thoi.

SO1S' lầ tam giác cân và có một góc bằng 60o SO1S' lầ tam giác đều.

1=2=1,6