BÀI 2. PHÉP TÍNH LÔGARIT (2 tiết)

I. KHÁI NIỆM LÔGARIT

1. Định nghĩa

HĐ1

1. a) Vì mà nên

Vì  mà  nên

1. b) Có một số thực duy nhất để .

Định nghĩa

Cho hai số thực dương  với  khác 1. Số thực  để  được gọi là lôgarit cơ số  của  và kí hiệu là , nghĩa là

$c=log_{a}b\Leftrightarrow a^{c}=b$

$log_{a}b$ xác định khi và chỉ khi  và .

Ví dụ 1: (SGK – tr.34)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.34)

Luyện tập 1

1. a) $log_{3}81=4$ vì .
2. b) $log_{10}\frac{1}{100}=-2$ vì .

2. Tính chất

HĐ2

1. a) $log_{a}1=0$
2. b) $log_{a}a=1$
3. c) $log_{a}a^{c}=c$
4. d) $a^{log_{a}b}=b$

Tính chất

Với số thực dương  khác 1, số thực dương  và số thực , ta có:

log$_{a}$1 = 0;         log$_{a}$a  = 1;         log$_{a}a^{c}$ = c;         $a^{log_{a}b}=b$

Ví dụ 2: (SGK – tr.35)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35)

Luyện tập 2

1. a) $log_{4}\sqrt[5]{16}=log_{4}(4^{2})^{\frac{1}{5}}=log_{4}4^{\frac{2}{5}}=\frac{2}{5}$
2. b) $36^{log_{6}8}=6^{log_{6}8}.6^{log_{6}8}=8.8=64$

3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

Khái niệm

+ Lôgarit cơ số  của số thực dương  được gọi là lôgarit thập phân của  và kí hiệu là  hay .

+ Lôgarit cơ số  của số thực dương  được gọi là lôgarit tự nhiên của  và kí hiệu là .

Ví dụ 3: (SGK – tr.35)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35)

Luyện tập 3

Độ pH của nước cam

Độ pH của nước dừa

II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH LÔGARIT

1. Lôgarit của một tích, một thương

HĐ3

1. a) $log_{2}mn=10$

$log_{2}m+log_{2}n=10$

=> Hai kết quả bằng nhau

1. b) $log_{2}\frac{m}{n}=4$

$log_{2}m-log_{2}n=4$

=> Hai kết quả bằng nhau

Công thức

Với ba số thực dương  và , ta có:

• $log_{a}(mn)=log_{a}m+log_{a}n$;
• $log_{a}(\frac{m}{n})=log_{a}m-log_{a}n$.
• $log_{a}\left (\frac{1}{b}  \right )=-log_{a}b$ (a > 0, a ≠ 1, b > 0).

Ví dụ 4: (SGK – tr.36)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36)

Chú ý:

Với n số tực dương b1, b2, …, bn:

$log_{a}(b_{1}b_{2}...b_{n})=log_{a}b_{1}+log_{a}b_{2}+...+log_{a}b_{n}$  (a > 0, a ≠ 1)

Luyện tập 4

1. a) $ln(\sqrt{5}+2)+ln(\sqrt{5}-2)$

$=ln ((\sqrt{5}+2).(\sqrt{5}-2))$

$=ln(5-4)=ln1=0$

1. b) $log400-log4=log\left ( \frac{400}{4} \right )=log100=2$
2. c) $log_{4}8+log_{4}12+log_{4}\frac{32}{3}$

$=log_{4}\left ( 8\cdot 12\cdot \frac{32}{3} \right )$

$=log_{4}1024=5$

2. Lôgarit của một lũy thừa

HĐ4

1. a) Tính $a^{log_{a}b^{\alpha }}=b^{\alpha }$

$a^{\alpha log_{a}b}=b^{\alpha}$

1. b) $log_{a}b^{\alpha }=\alpha log_{a}b$

Ghi nhớ

Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0. Với mọi số thực α, ta có: $log_{a}b^{\alpha }=\alpha log_{a}b$

Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0. Với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta có: $log_{a}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}log_{a}b$

Ví dụ 5: (SGK – tr.36)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36)

Luyện tập 5

$2log_{3}5-log_{3}50+\frac{1}{2}log_{3}36$

$=log_{3}5^{2}-log_{3}50+log_{3}6$

$=log_{3}\frac{1}{2}+log_{3}6=log_{3}3=1$

3. Đổi cơ số của lôgarit

HĐ5

1. a) $log_{c}b=log_{a}b.log_{c}a $

<=> $a^{log_{c}b}=a^{log_{a}b.log_{c}a }$

<=> $c^{log_{c}b}=(c^{log_{c}a})^{log_{a}b}$

<=> $b=a^{log_{a}b}$

<=> $b=b$ (luôn đúng)

1. b) Từ $ log_{c}b=log_{a}b.log_{c}a $

<=> $log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

Ghi nhớ

Với  là hai số thực dương khác 1 và  là số thực dương, ta có:

$log_{b}c=\frac{log_{a}c}{log_{a}b}$

Nhận xét

Với  và  và ,  , ta có những công thức sau:

• $log_{a}b.log_{b}c=log_{a}c$
• $log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$
• $log_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }log_{a}b$

Ví dụ 6: (SGK – tr.37)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.37)

Luyện tập 6

$5^{log_{125}64}=5^{log_{5}64^{\frac{1}{3}}}=64^{\frac{1}{3}}=4$

III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH LÔGARIT

Chú ý: Với máy tính không có phím log thì để tính $log_{5}3$, ta có thể dùng công thức đổi cơ số để đưa về cơ số 10 hoặc cơ số .

Ví dụ 6: (SGK – tr.38)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.38)

Luyện tập 7

$log_{7}19≈1,5$

$log_{11}26≈1,3$