Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 3 Bài 1: Giới hạn của dãy số

CHƯƠNG III. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

HĐ 1:

1. a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của un càng giảm dần về 0.

2. b) Ta có bảng:

(Bảng dưới)

Định nghĩa

Dãy số un có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu un  =0 hay un→0 khi n→+∞. Ta còn viết là lim⁡un=0.

Nhận xét:

Nếu un ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì un =0

Ví dụ 1 (SGK -tr.60)

Luyện tập 1

1. a) Xét: un=0 với mọi n ∈ N*

Với mọi h > 0 bé tùy ý, ta có:

|un | <h với mọi n ∈ N*

Vậy lim 0 = 0.

1. b) Xét: un=1n với mọi n ∈ N*

Với mọi h>0 bé tùy ý, ta có

un <h⟺1n<h ⟺n>1h⟺n>1h2

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn 1h2 thì un <h.

Theo định nghĩa, ta có 1n=0 .

HĐ 2:

Ta có un-2=n→+∞ 1n=0.

Định nghĩa

Dãy số un có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực, nếu lim un-a=0. Khi đó, ta viết un =a hay lim⁡un=a hay un→a khi n→+∞.

Ví dụ 2 (SGK -tr.61)

Chú ý:

+ Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

+ Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số un với un=-1n.

Luyện tập 2

Đặt un=-4n+1nun+4=-4n+1n+4=1n

Do un+4 =1n =0

Vậy -4n+1n=-4   

2. Một số giới hạn cơ bản

Ta thừa nhận các giới hạn sau

1. a) 1n=0; lim1nk=0 với k là số nguyên dương cho trước;

2. b) cn=0; cnk=0; với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước.

3. c) Nếu q<1 thì qn =0;

4. d) Dãy số un với un=1+1nn có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e.

e=1+1nn

Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045.

Ví dụ 3 (SGK -tr.62)

Luyện tập 3

Ta có 0< e<1 do đó en =0.

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

HĐ 3.

1. a) 

( un-8)=8+1n-8 =0un =8

( vn-4)=4-2n-4 =0vn =4

1. b) 

lim⁡un + lim⁡vn = 8 + 4 = 12.

Ta có: un + vn =8+1n+4-2n=12-1n

Ta lại có: 

un+vn-12 = lim12-1n-12=0

Suy ra
un+vn=12

Vậy  lim(un + vn) = limun + limvn.

1. c) Ta có: 

un.vn=8+1n4-2n=32-12n-2n2( un.vn-32)=32-12n-2n2-32 =0

Suy ra un.vn =32

Ta có: 

un  . lim⁡vn = 8.4 = 32

Vậy limun.limvn = lim(unvn).

Kết luận

1. a) Nếu un =a,vn =b thì:

• limun+vn=a+b

• limun-vn=a-b

• limunvn=a⋅b

• limunvn=abb≠0

1. b) Nếu un≥0,∀n∈N* và limun=a thì 

a≥0 và limun=a.

Ví dụ 4 (SGK -tr.62)

Luyện tập 4 (SGK -tr.63)

1. a) 8n2+nn2 =8+1n =8 +1n =8

b) 4+n2n =4n2+1 =4n2+1 =1

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

HĐ 4:

1. a) Ta có q<1

2. b) Sn=1-12n1-12=21-12n

Sn =2 .1-12n =2

Kết luận

Cấp số nhân vô hạn u1,u1q, …., u1qn-1,… có công bội q thỏa mãn q<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là: 

S=u1+u1q+…+u1qn-1+…=u11-q

Ví dụ 5 (SGK -tr.63)

Ví dụ 6 (SGK -tr.63)

Luyện tập 5

Ta có dãy số 1; -12;122;…;-12n-1;.. là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1=1 và công bội q=-12 

Nên M=11--12=23

Luyện tập 6

Thời gian Achilles chạy hết các quãng đường có độ dài 100 km, 1 km, 1100 km, 11002 km,... lần lượt là 1h, 1100h, 11002 h,11003h,…

Vậy thời gian đi hết quãng đường trên là 

T=1+1100+…+1100n+…

Ta có t=Tn =100991-1100n=10099  

Vậy Archilles đuổi kịp rùa sau 10099giờ.

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC 

HĐ 5:

Ta có: khi n→+∞ thì n2→+∞

Khi đó un=n2 có thể lớn tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kết luận

- Ta nói dãy số un có giới hạn là +∞ khi n→+∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu limun=+∞ hay un→+∞ khi n→+∞.

- Ta nói dãy số un có giói hạn là -∞ khi n→+∞ nếu lim-un=+∞.

Kí hiệu limun=-∞ hay un→-∞ khi n→+∞.

Ví dụ 7 (SGK -tr.64)

Luyện tập 7 

Xét dãy số un=n3

Với M là số dương bất kì, ta thấy un=n3>M⟺n>3M.

Vậy với các số tự nhiên n>3M thì un>M. 

Do đó, (-n3) =-∞.

Nhận xét:

+) lim⁡nk=+∞ (với k là số nguyên dương cho trước).

+) lim qn=+∞ (với q>1 là số thực cho trước.

+) Nếu un =a và vn =+∞ thì unvn=0 .

+) Nếu un =a, a>0 và vn =0, vn>0 với mọi n thì unvn =+∞.

+) un =+∞⇔-un =-∞

Ví dụ 8 (SGK -tr.64)

Luyện tập 8

n-1n2=1n-1n2 =0