Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 2 Bài 2: Cấp số cộng

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG

1. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1

Ta thấy trong dãy số: -2, 3, 8, 13, 18, 23, 28. Kể từ số hạng thứ hai trở đi số hạng sau hơn số hạng trước năm đơn vị.

Khái niệm

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

un=un-1+d với n≥2

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Câu hỏi:

Dãy số trong phần HĐ1 là một cấp số cộng với công sai d = 5.

Lưu ý

Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n≥2, ta có:

un-un-1=d

Chú ý

Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

Ví dụ 1: (SGK – tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Luyện tập 1

Công sai của cấp số cộng đã cho là:

d=u2-u1=-2--7=5 

Ta có: 

u1=-7;u2=-2 

u3=u2+5=-2+5=3 

u4=u3+5=3+5=8 

u5=u4+5=8+5=13  

Ví dụ 2: (SGK – tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).

Luyện tập 2

Ta có: 

un+1=-5n+1+7=-5n-5+7 

         =-5n+2 

Xét hiệu: 

un+1-un=-5n+2--5n+7=-5 

Do đó (un) là một cấp số cộng.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

HĐ2

1. a) Năm số hạng đầu của cấp số cộng theo u1và d là:

u1; u2=u1+d; 

u3=u2+d=u1+d+d=u1+2d 

u4=u3+d=u1+2d+d=u1+3d 

u5=u4+d=u1+3d+d=u1+4d 

1. b) Dự đoán công thức tính un: 

un=u1+n-1d

Công thức số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un=u1+n-1d với n≥2.

Nhận xét

Với d≠0, từ công thức un=u1+n-1d

Ta có: n=un-u1d+1 với n≥2.

Ví dụ 3: (SGK – tr.50).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).

Luyện tập 3

Độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu: 

u1=1250 m và công sai d=1,2 m.

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: 

un=u1+n-1.d=1250+n-1.1,2 

Vậy độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là:

u10=1250+10-1.1,2=1260,8 m.

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

HĐ3

1. a) Ta có: u1+un=u1+u1+n-1d

                              =2u1+n-1d 

u2+un-1=u1+d+u1+n-1-1d 

                  =2u1+n-1d

u3+un-2=u1+2d+u1+n-2-1d 

                  =2u1+n-1d

….

un+u1=u1+n-1d+u1 

              =2u1+n-1d 

Ta thấy:

u1+un=u2+un-1=u3-un-2=…=un+u1 

2. b) Ta có: 2Sn=2.(u1+u2+u3+…+un)

=u1+un+u2+un-1+…+(un+u1) 

=2u1+n-1d+2u1+n-1d+2u1+n-1d+…+2u1+n-1d 

=2n.u1+nn-1d 

=nu1+u1+n-1d 

=n(u1+un) 

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d. Đặt Sn=u1+u2+u3+…+un.

Khi đó: Sn=u1+unn2

Nhận xét

Do un=u1+n-1d nên u1+un=2u1+n-1d. Suy ra:

Sn=2u1+n-1dn2

Ví dụ 4: (SGK – tr.51).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.51).

Luyện tập 4

1. a) Ta có: 3; 1; – 1; ... là cấp số cộng với số hạng đầu u1=3 và công sai d=1-3=-2

Khi đó: 

u10=3+10-1.-2 

       =3+-18=-15 

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là:

S10=10.[3+-15]2=-60 

15. b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; ... là cấp số cộng với số hạng ban đầu u1=1,2 và công sai d=1,7-1,2=0,5

Khi đó u15=1,2+15-1.0,5=8,2

Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là:

S15=151,2+8,22=70,5  

Ví dụ 5: (SGK – tr.51).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.51).