Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 3 Bài 2: Giới hạn của hàm số

CHƯƠNG III. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

HĐ 1:

1. a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của un càng giảm dần về 0.

2. b) Ta có bảng:

(Bảng dưới)

Định nghĩa

Dãy số un có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu un  =0 hay un→0 khi n→+∞. Ta còn viết là lim⁡un=0.

Nhận xét:

Nếu un ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì un =0

Ví dụ 1 (SGK -tr.60)

Luyện tập 1

1. a) Xét: un=0 với mọi n ∈ N*

Với mọi h > 0 bé tùy ý, ta có:

|un | <h với mọi n ∈ N*

Vậy lim 0 = 0.

1. b) Xét: un=1n với mọi n ∈ N*

Với mọi h>0 bé tùy ý, ta có

un <h⟺1n<h ⟺n>1h⟺n>1h2

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn 1h2 thì un <h.

Theo định nghĩa, ta có 1n=0 .

HĐ 2:

Ta có un-2=n→+∞ 1n=0.

Định nghĩa

Dãy số un có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực, nếu lim un-a=0. Khi đó, ta viết un =a hay lim⁡un=a hay un→a khi n→+∞.

Ví dụ 2 (SGK -tr.61)

Chú ý:

+ Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

+ Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số un với un=-1n.

Luyện tập 2

Đặt un=-4n+1nun+4=-4n+1n+4=1n

Do un+4 =1n =0

Vậy -4n+1n=-4   

2. Một số giới hạn cơ bản

Ta thừa nhận các giới hạn sau

1. a) 1n=0; lim1nk=0 với k là số nguyên dương cho trước;

2. b) cn=0; cnk=0; với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước.

3. c) Nếu q<1 thì qn =0;

4. d) Dãy số un với un=1+1nn có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e.

e=1+1nn

Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045.

Ví dụ 3 (SGK -tr.62)

Luyện tập 3

Ta có 0< e<1 do đó en =0. 1. Định nghĩa

HĐ 1

1. a) Bảng giá trị

(bảng dưới)

Ta có: lim⁡f⁡xn=lim2(n+1)n=2.

1. b) 

Lấy dãy xn bất kí thỏa mãn xn→1 ta có:
fxn=2xn

⇒limfxn=lim2xn=2limxn=2.1=2.
Kết luận

Cho khoảng K chứa điểm xo và hàm số y=fx xác định trên K hoặc K\{x0}. Ta nói hàm số fx có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số xn bất kì, xnK\{x0} và xnx0, thì fxnL.

Kí hiệu xx0 f(x)=L hay f(x)→L khi xx0. 

Nhận xét

xx0 xo=xo;xx0 c=c c là hằng số.

Ví dụ 1 (SGK -tr.67)

Chú ý: 

Hàm số fx có thể không xác định tại x=x0 nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới xo.

Luyện tập 1

Đặt f(x)=x2
Giả sử xn là dãy số thỏa mãn lim⁡xn=2.
lim⁡fxn=lim⁡xn2=22=4.
Vậy x2  =4.
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

HĐ 2:

1. a) Giả sử xn là dãy số bất kì thỏa mãn lim⁡xn=1. Khi đó ta có:
   lim⁡fxn=limxn2-1=limxn2-1=1-1=0.
   f(x) =0.
   lim⁡g⁡xn=limxn+1=lim⁡xn+1=2g(x) =2.

2. b) Ta có: f(x)+g(x)=x2-1+x+1=x2+x
   Giả sử xn là dãy số bất kì thỏa mãn lim⁡xn=1. Khi đó ta có:
   limfxn+gxn=limxn2+xn=lim⁡xn2+lim⁡xn=12+1=2.
   x→1 (f(x)+g(x))=2

+) Ta lại có: x→1   f(x)+x→1  g(x)=0+2=2.
Vậy x→1  (f(x)+g(x))=x→1  f(x)+x→1  g(x)=2.
c) Ta có: f(x)-g(x)=x2-1-x-1=x2-x-2
xn là dãy số bất kì thỏa mãn lim⁡xn=1. Khi đó ta có:
limfxn-gxn=limxn2-xn-2=limxn2-limxn-2=12-1-2=-2x→1  (f(x)-g(x))=-2

Ta lại có: x→1  f(x)-x→1  g(x)=0-2=-2.
Vậy x→1 (f(x)-g(x))=x→1  f(x)-x→1  g(x)=-2.
d) Ta có: f(x)⋅g(x)=x2-1(x+1)=x3+x2-x-1
xn là dãy số bất kì thỏa mãn lim⁡xn=1. Khi đó ta có:
limfxngxn=limxn3+xn2-xn-1=limxn3+limxn2-limxn-1=13+12-1-1=0

x→1 (f(x)⋅g(x))=0.
Ta lại có: x→1  f(x)⋅x→1 g(x)=0.2=0.
Vậy x→1  (f(x)⋅g(x))=x→1 f(x)⋅x→1  g(x).
e) Ta có: f(x)g(x)=x2-1x+1
xn là dãy số bất kì thỏa mãn lim xn=1. Khi đó ta có:
limfxngxn=limxn2-1xn+1=limxn-1xn+1xn+1=limxn-1=0x→1  f(x)g(x)=0

Ta lại có: limf(x)limg(x)=02=0
Vậy x→1  f(x)g(x)=x→1  f(x)x→1  g(x).
Kết luận

1. a) Nếu xx0 f(x)=L vàxx0 gx=M(L, M∈R). Khi đó

xx0 [f(x)+g(x)]=L+M;   xx0 [f(x)-g(x)]=L-M;   xx0 [f(x)⋅g(x)]=LM;   xx0 f(x)g(x)=LM, (nếu M≠0).

1. b) Nếu f(x)≥0 và xx0 f(x)=L

thì L≥0 và xx0 f(x)=L.

Ví dụ 2 (SGK tr.68)

Luyện tập 2

3. a) x2 (x+1)x2+2x=x2  (x+1)⋅x2  x2+2x=3.8=24.
   b) x2  x2+x+3=x2 x2+x+3=3.

4. Giới hạn một phía

HĐ 3

1. a) Xét dãy số un sao cho un<0 và limun=0. Khi đó fun=-1 và lim⁡fun=-1
   b) Xét dãy số vn sao cho vn>0 và limvn=0. Khi đó fvn=1 và lim⁡fvn=1.

Kết luận

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng a;x0. 

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=fx khi xx0 nếu với dãy số xn bất kì thoả mãn a<xn<xo và xnx0, thì fxnL.

Kí hiệu xx0-f(x)=L.

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng x0;b. 

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=fx  khi xx0 nếu với dãy số xn bất kì thoả mãn x0<xn<b và xnx0, thì fxnL, kí hiệu xx0+f(x)=L.

Ví dụ 3 (SGK -tr.69)

Luyện tập 3

x-4+(x+4+x)=x-4+ x+4+x-4+ x=0-4=-4.
Định lí

f(x) =L và f(x) =L khi và chỉ khi f(x) =L

Ví dụ 4 (SGK -tr.69)

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC 

HĐ 4:

1. a) Hàm số f(x) tiến dần tới giá trị 0 khi x dần tới dương vô cực.
   b) Hàm số tiến dần tới âm vô cực thì giá trị f(x) gần tới giá trị 0 .

Định nghĩa

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng a;+∞. 

Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x→+∞ nếu với dãy số xn bất kì, xn> a và xn→+∞, ta có fxnL.

Kí hiệu x→+∞f(x)=L hay f(x)→L khi x→+∞.

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (-∞;a). 

Ta nói hàm số y=fx có giới hạn là số L khi x→-∞ nếu với dãy số xn bất kì, xn<b và xn→-∞, ta có fxnL.

Kí hiệu x→-∞ f(x)=L hay f(x)→L khi x→-∞.

Chú ý:

- Với c,k là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

 x→+∞c=c;x→-∞c=c;

x→+∞ cxk=0;x→-∞ cxk=0.

- Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi x→xo vẫn còn đúng khi x→+∞ hoặc x→-∞.

Ví dụ 5 (SGK – tr.70)

Luyện tập 4

x→-∞ 3x+24x-5=x→-∞  x3+2x4-5x=x→-∞  3+2x4-5x=34

3. GIỚI HẠN VÔ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

HĐ 5

1. a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới  +.

2. b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới  -.
   Kết luận

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng a;+∞. 

Ta nói hàm số y=fx có giới hạn là +∞ khi xa+ nếu với dãy số xn bất kì xn>a,xna, ta có fxn→+∞.

Kí hiệu f(x)  =+∞, hay fx→+∞ khi x→a+.

- Các trường hợp fx  =-∞;

fx  =+∞;fx  =-∞

được định nghĩa tương tự.

Chú ý: 

xa+ 1x-a=+∞,xa- 1x-a=-∞

Ví dụ 6 (SGK -tr.71)

Luyện tập 5

x2-  1x+2=-∞

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

HĐ 6:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới dương vô cùng.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới âm vô cùng.
Kết luận

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng a;+∞. 

Ta nói hàm số y=fx có giới hạn là +∞ khi x→+∞ nếu với dãy số xn bất kì xn>a, và xn→+∞ ta có fxn→+∞.

Kí hiệu f(x)  =+∞, hay fx→+∞ khi x→+∞.

- Các trường hợp fx  =-∞;

fx  =+∞;fx  =-∞

Chú ý:

x+∞xk=+∞, k là số nguyên dương;

x→-xk=+∞, k là số nguyên dương chẵn;

x→-xk=-∞, k là số nguyên dương lẻ.

Ví dụ 7 (SGK -tr.72)

Luyện tập 6

x→- x4=+∞