Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 1 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

1. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LE, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ.

HĐ1

1. a) Hàm số fx=x2

+ Với x∈R, ta có: f-x=-x2=x2

Do đó f-x=fx

+ Trục đối xứng của (P) là đường thẳng x = 0, hay chính là trục Oy.

1. b) Hàm số gx=x

+ Với x∈R, ta có: g-x=-x và -gx=-x.

Do đó g-x=-g(x).

+ Gốc tọa độ O là tâm đối xứng của đường thẳng d.

=> Ta nói hàm số fx=x2 là hàm số chẵn; hàm số gx=x là hàm số lẻ.

Khái niệm

Cho hàm số y=f(x) với tập xác định D.

+ Hàm số y=f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x∈D thì -x∈D và f-x=f(x).

+ Hàm số y=f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x∈D thì -x∈D và f-x=-f(x).

Chú ý

- Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

- Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 1: (SGK – tr.22).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.22).

Luyện tập 1

1. a) Xét hàm số gx=x3 có tập xác định D=R. 

∀ x∈R thì -x∈R, ta có: 

g-x=-x3=-x3=-g(x) 

Do đó hàm số gx=x3 là hàm số lẻ.

1. b) Ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ:

fx=x4+x3;gx=2x3-3x2 

2. Hàm số tuần hoàn.

HĐ2

1. a) Đồ thị hàm số trên mỗi đoạn [a ; a + T], [a + T; a + 2T], [a – T; a] có dạng giống nhau.

2. b) Ta có: fx0+T=f(x0)

               fx0-T=fx0

Định nghĩa:

Cho hàm số y=f(x) với tập xác định D. Hàm số y=f(x) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi x∈D, ta có:

• x+TD và x-TD.

• fx+T=f(x)

Số T nhỏ nhất thỏa mãn (nếu có) các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Ví dụ 2: (SGK – tr.23).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.24).

Luyện tập 2

Ví dụ về hàm số tuần hoàn:

Cho T là một số hữu tỉ và hàm số f(x) được cho bởi công thức sau:

fx={3         nếu x là số hữu tỉ -3      nếu x là số vô tỉ     

Chứng minh:

f(x) có tập xác định trên R.

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ;

Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ.

Do đó f(x + T) = f(x) với mọi x.

Vậy hàm số f(x) là hàm số tuần hoàn.

Nhận xét

Cho hàm số tuần hoàn chu kì T. Từ đồ thị hàm số đó trên đoạn [a; a + T], ta dịch chuyển song song với trục hoành sang phải (hoặc sang trái) theo đoạn có độ dài T thì được đồ thị hàm số trên đoạn [a + T; a + 2T] (hoặc [a – T; a]).

2. HÀM SỐ Y = SIN X

1. Định nghĩa.

HĐ3

Giả sử tung độ của điểm M là y.

Khi đó ta có sinx = y.

=> Ứng với mỗi số thực x, có duy nhất một giá trị sin x .

Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực sin x được gọi là hàm số y=sin x .

Tập xác định của hàm số y=sin x là R.

2. Đồ thị của hàm số y=sin x

HĐ4

1. a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = sinx ta có bảng sau:

1. b) Lấy thêm một số điểm (x;sin x ) với x∈[-π;π]  trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y=sin x trên đoạn -π;π.

1. c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn -3π; -π, π;3π,…, ta có đồ thị hàm số y=sin x trên R được biểu diễn ở hình vẽ sau:

2. Tính chất của hàm số y=sin x.

HĐ5

1. a) Tập giá trị của hàm số y=sin x là [-1; 1].

2. b) Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số y =sin x là hàm số lẻ.

c)

 ‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y =sin x trên đoạn [-π;π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y=sin x trên đoạn π;3π.

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y=sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T=2π.

- Xét hàm số fx=y=sin x trên R, với T=2π và x∈R.

+ x+2∈R và x-2∈R.

+ fx+2π=f(x).

Do đó hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

1. d) Quan sát đồ thị hàm số y=sin x ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng -5π2; -3π2;-2;2;3π2;5π2;….

Ta có: -52; -32=-2-2;2-2; 3π2;5π5=-2+2π;2+2π; ….

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng -2+k2π;2+k2π với k∈Z.

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  -7π2; -5π2;-3π2; -2;2;3π2;.

Ta có: -3π2; -2=2-2π;3π2-2π; …

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 2+k2π;3π2+k2π với k∈Z.

Tính chất

+ Hàm số y=sin x là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ;

+ Hàm số y=sin x tuần hoàn chu kì 2π.

+ Hàm số y=sin x đồng biến trên khoảng -2+k2π;2+k2π, nghịch biến trên mỗi khoảng 2+k2π;3π2+k2π với k∈Z.

Ví dụ 3: (SGK – tr.25).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.23).

Luyện tập 3

Do -7π2; -5π2=2-4π;3π2-4π 

=2+-2.2π;3π2+-2.2π nên hàm số y=sin x nghịch biến trên khoảng -7π2; -5π2.

Nhận xét

Dựa vào đồ thị của hàm số y=sin x (hình 24), ta thấy sin x =0 tại những giá trị x=kπ, (k∈Z). Vì vậy, tập hợp các số thực x sao cho sin x ≠0 là E=R\ k∈Z. 

3. HÀM SỐ Y = COS X

1. Định nghĩa

HĐ6

Giả sử hoành độ của điểm M là y.

Khi đó ta có cos x =y.

=> Ứng với mỗi số thực x, có duy nhất một giá trị cos x .

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực cos x được gọi là hàm số y=cos x .

Tập xác định của hàm số y=cos x là R.

2. Đồ thị của hàm số y=cos x.

HĐ7

1. a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = cos x ta có bảng sau:

1. b) Lấy thêm một số điểm (x;cos x ) với x∈[-π;π]  trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y=cos x trên đoạn -π;π.

1. c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn -3π; -π, π;3π,…, ta có đồ thị hàm số y=cos x trên R được biểu diễn ở hình vẽ sau:

2. Tính chất của hàm số y=cos x.

HĐ8

1. a) Tập giá trị của hàm số y = cos x là [‒1; 1].

2. b) Trục tung là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

1. c) 

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y=cos x trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y=cos x trên đoạn [π; 3π].

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y=cosx trên ℝ.

‒ Xét hàm số fx= y=cos x trên ℝ, với T=2π và x∈R ta có:

• x + 2∈ R và x – 2∈ R;

• f(x + 2) = f(x)

Do đó hàm số y =cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T=2.

1. d) Quan sát đồ thị hàm số y=cosx ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (‒3; ‒2); (‒; 0); (; 2); …

Ta có: (‒3π;‒2π)=(‒π ‒2π; 0 ‒2π);

(π; 2π) = (‒π+2π; 0+2π); …

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (‒π+k2π; k2π) với k∈Z.

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (‒2π; ‒π); (0; π); (2π; 3π); …

Ta có: (‒2π; ‒π) = (0 ‒ 2π; π ‒ 2π);

(2π; 3π) = (0 + 2π; π + 2π);  

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π+k2π) với k∈Z.

Tính chất

+ Hàm số y=cos x là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung.

+ Hàm số y=cos x tuần hoàn chu kì 2π.

+ Hàm số y=cos x đồng biến trên mỗi khoảng -π+k2π;k2π, nghịch biến trên mỗi khoảng k2π;π+k2π với k∈Z.

Ví dụ 4: (SGK – tr.27).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.27).

Luyện tập 4

Do -2π; -π=0-2π;π-2π nên hàm số y=cos x nghịch biến trên khoảng -2π; -π.

4. HÀM SỐ Y = TAN X

1. Định nghĩa

HĐ9

Nếu cos x ≠0, tức x∈R\ k∈Z

Hay x∈D thì ta có: tan x =sin x cos x .

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x∈D với một số thực tan x được gọi là hàm số y=tan x .

Tập xác định của hàm số y=tan x là 

D=R\ k∈Z

2. Đồ thị hàm số y=tan x

HĐ10

1. a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = tan x ta có bảng sau:

1. b) Lấy thêm một số điểm x;tan x với x∈-2;2 trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng x∈-2;2

1. c) Làm tương tự như trên đối với các 2;3π2;-3π2; -2,… ta có đồ thị hàm số y = tanx trên D được biểu diễn ở hình vẽ sau:

2. Tính chất của hàm số y=tan x

HĐ11

1. a) Tập giá trị của hàm số y=tan x là R.

2. b) Gốc toạ độ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=tan x .

Do đó hàm số y=tan x là hàm số lẻ.

1. c) 

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y=tan x trên khoảng -2;2  song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y=tan x trên khoảng 2;3π2.

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y=tan x trên R\ k∈Z.

‒ Xét hàm số fx=y=tan x trên D=R\ k∈Z với T=π và x∈D ta có:

+) x+∈D và x-∈D.

+) fx+=fx.

Do đó hàm số y=tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì T=.

1. d) Quan sát đồ thị hàm số y = tan x ở Hình 29, ta thấy: đồ thị hàm số đồng biến trên mỗi khoảng -3π2; -2;-2;2;2;3π2;…

Ta có: -32; -2=-2-;2-;

-2;2=-2+;2+;....

Do đó ta có thể viết đồ thị hàm số y = tan x đồng biến trên mỗi khoảng -2+k;2+k với k∈Z.

Tính chất

+ Hàm số y=tan x là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O;

+ Hàm số y=tan x tuần hoàn chu kì .

+ Hàm số y=tan x đồng biến trên mỗi khoảng -2+kπ;2+kπ với k∈Z.

Ví dụ 5: (SGK – tr.29).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.29).

Luyện tập 5

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = tan x trên khoảng -2;2

Từ đồ thị của hai hàm số trên hình vẽ, ta thấy mọi m ∈ ℝ thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm. 

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng -2;2 là 1. 

5. HÀM SỐ Y = COT X

1. Định nghĩa

HĐ12

Nếu sin x ≠0, tức x∈R\ k∈Z hay xE thì ta có: cot x =cos x sin x .

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực xE với một số thực cot x được gọi là hàm số y=cot x .

Tập xác định của hàm số y=cot x là E=R\ k∈Z.

2. Đồ thị của hàm số y=cot x.

HĐ13

1. a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = cot x ta có bảng sau:

1. b) Lấy thêm một số điểm (x; cot x) với x ∈(0; π) trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng x ∈(0; π)

1. c)  Làm tương tự như trên đối với các 2;32;-32; -2,…, ta có  đồ thị hàm số y = tan x trên D được biểu diễn ở hình vẽ sau:

2. Tính chất của hàm số y=cot x

HĐ14

1. a) Tập giá trị của hàm số y=cot x là ℝ.

2. b) Gốc toạ độ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=cot x .

Do đó hàm số y=cot x là hàm số lẻ.

1. c) ‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y=cot x trên khoảng (0; π) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y=cot x trên khoảng (π; 2π).

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y=cot x trên R\ k∈Z.

- Xét hàm số fx=y=cot x trên D=R\ k∈Z, với T=π và x∈D.

+) x+∈D và x-∈D.

+) fx+=fx.

Do đó hàm số y=cot x  là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π.

1. d) Quan sát đồ thị hàm số y=cot x ở Hình 31, ta thấy: đồ thị hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng -2π; -π;-π;0;0;π;π;2π,…

Ta có: -2;=0-2; -2;

-;0=0-; -;

π;2π=0+π;π+π;………

Do đó ta có thể viết đồ thị hàm số y = cot x nghịch biến trên mỗi khoảng kπ; π+kπ với k∈Z.

Tính chất

+ Hàm số y=cot x là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

+ Hàm số y=cot x tuần hoàn chu kì .

+ Hàm số y=cot x  nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ;π+kπ) với k∈Z.

Ví dụ 6: (SGK – tr.30).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.30).

Luyện tập 6

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = cot x trên khoảng (0; π) (hình vẽ).

Từ đồ thị của hai hàm số trên hình vẽ, ta thấy mọi m ∈ R thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng (0; π) là 1