Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 1 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 

1. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

- Một phương trình với ẩn x có dạng f(x) = g(x), trong đó vế trái f(x) và vế phải g(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. Khi giải phương trình này, ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

HĐ1

1. a) Ta có: x2-3x+2=0 (1)

[x=1   x=2     Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S1 = {1; 2}. 

Ta có:

(x –1)(x –2)=0 (2)

[x=1   x=2   Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S2 = {1; 2}.

1. b) Hai tập S1, S2bằng nhau vì cùng là tập {1; 2}.

Định nghĩa

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f1x=g1(x) đương đương với phương trình f2x=g2(x) thì ta viết f1x=g1x⟺f2x=g2(x).

Ví dụ 1: (SGK – tr.32).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.32,33).

Luyện tập 1

+ Ta có: x-1=0⟺x=1

Tập nghiệm của phương trình là S1={1}.

+ Ta có: x2-1x+1=0

ĐKXĐ: x≠-1

x2-1x+1=0⟺x2-1=0⟺ [x=1 (TM)   x=-1 (L)

Tập nghiệm của phương trình là S2={1}.

=> Ta thấy S1=S2 nên hai phương trình trên tương đương.

HĐ2

Phương trình 3x ‒ 6 = 0 có tập nghiệm S1 = {2}.

Phương trình 3x = 6 có tập nghiệm S2 = {2}.

Vì S1 = S2 nên hai phương trình 3x ‒ 6 = 0 và 3x = 6 tương đương

Khi đó ta viết 3x-6=0⟺3x=6

Vậy khẳng định 3x-6=0⟺3x=6 là chính xác.

Định lí

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

1. a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

2. b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Ví dụ 2: (SGK – tr.33).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.33).

Luyện tập 2

Ta có: (x – 1)2 = 5x – 11.

⇔ x2 – 2x + 1 – (5x – 11) = 0

⇔ x2 – 2x + 1 – 5x + 11 = 0

⇔ x2 – 7x + 12 = 0

⇔ [x=3   x=4

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {3; 4}.

2. PHƯƠNG TRÌNH SIN X = M

HĐ3

6. a) Với x∈-π;π ta thấy sin x =12 tại x=6 và x=5π6.

Do đó đường thẳng d: y=12 cắt đồ thị hàm số y=sin x , x∈[-π;π] tại hai giao điểm A0, B0 có hoành độ lần lượt là xA0=6 và xB0=5π6.

6. b) Với x∈π;3π ta thấy sin x =12 tại x=13π6 và x=17π6.

Do đó đường thẳng d: y=12 cắt đồ thị hàm số y=sin x , x∈π;3π tại hai giao điểm A1, B1 có hoành độ lần lượt là xA1=13π6 và xA2=17π6.

Nhận xét

Phương trình sin x =12 có các nghiệm là:

x=6+k2π k∈Z 

x=5π6+k2π=π-6+k2π (k∈Z) 

Công thức nghiệm

+ Với m>1, phương trình vô nghiệm.

+ Với |m≤1, gọi là số thực thuộc đoạn -2;2 sao cho sin =m. Khi đó, ta có: 

sin x =m⟺sin x =sin  

⟺ [x=α+k2π          x=π-α+k2π   (k∈Z)

Chú ý

1. a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sin x =m:

+ sin x =1⟺x=2+k2π (k∈Z);

+ sin x =1⟺x=-2+k2π (k∈Z);

+ sin x =0⟺ [x=k2π           x=π+k2π

                    ⟺x=kπ (k∈Z) 

1. b) Ta có sinfx=sin g(x)

⟺ [fx=gx+k2π           fx=π-gx+k2π (k∈Z)

1. c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho sin x =sin ao như sau:

sin x =sin ao ⟺ [x=ao+k360o                  x=180o-ao+k360o

(k∈Z) 

Ví dụ 3: (SGK – tr.34).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.34).

Luyện tập 3

1. a) Do sin x =32 nên sin x =sin 3

⟺ [x=3+k2π          x=π-3+k2π ⟺ [x=3+k2π   x=2π3+k2π

(k∈Z) 

1. b) sin x =sin 55o

⟺ [x=55o+k360o                  x=180o-55o+k360o (k∈Z)

⟺ [x=55o+k360o     x=125o+k360o (k∈Z) 

Ví dụ 4: (SGK – tr.35).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35).

Luyện tập 4

Ta có: sin 2x =sin x+4

⟺ [2x=x+4+k2π               2x=π-x+4+k2π

⟺ [x=4+k2π                     2x=π-x-4+k2π

⟺ [x=4+k2π   x=4+k2π3 (k∈Z) 

3. PHƯƠNG TRÌNH COS X = M

HĐ4

3. a) Với x∈[-π;π] ta thấy cos x =12 tại x=-3 và x=3.

Do đó đường thẳng d: y=12 cắt đồ thị hàm số y=cos x , x∈-π;π tại hai giao điểm C0, D0 có hoành độ lần lượt là xC0=-3 và xD0=3.

1. b) Với x∈π;3π ta thấy cos x =12 tại x=5π3 và x=7π3

Do đó đường thẳng d: y=12 cắt đồ thị hàm số y=cos x , x∈π;3π tại  hai giao điểm C1, D1 có hoành độ lần lượt là xC1=5π3 và xD1=7π3

Nhận xét:

Phương trình cos x =12 có các nghiệm là: 

x=3+k2π, (k∈Z) 

x=-3+k2π, (k∈Z) 

Công thức nghiệm

+ Với m>1, phương trình vô nghiệm.

+ Với m≤1, gọi là số thực thuộc đoạn [0;π] sao cho cos =m. Khi đó, ta có:

cos x =m⟺cos x =cos  

⟺ [x=α+k2π      x=-α+k2π (k∈Z) 

Chú ý

1. a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cos x =m

+ cos x =1⟺x=k2π, (k∈Z) 

+ cos x =-1⟺x=π+k2π, (k∈Z) 

+ cos x =0⟺x=2+kπ, (k∈Z) 

1. b) Ta có cos f(x) =cos g(x)

⟺ [fx=gx+k2π   fx=-gx+k2π (k∈Z)

1. c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cos x =cos ao như sau: 

cos x =cos ao ⟺ [x=ao+k360o   x=-ao+k360o (k∈Z)

Ví dụ 5: (SGK – tr,36).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36).

Luyện tập 5

1. a) Do cos x =-12 nên cos x =cos 2π3

⟺ [x=2π3+k2π   x=-2π3+k2π (k∈Z)

1. b)  cos x =cos -87o ⟺cos x =cos 87o

⟺ [x=87o+k360o   x=-87o+k360o (k∈Z)

Ví dụ 6: (SGK – tr.37).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.37).

Luyện tập 6

+) Ta có:

550+450cos 50t=1000  

⟺450cos 50t=450  ⟺cos 50t=1  

⟺50t=k2, (k∈Z, t≥0) 

⟺t=k2.50=100k (k∈Z, t≥0) 

Vậy phương trình này có các nghiệm là t = 100k với k ∈ ℤ, t ≥ 0.

+) Ta có:

550+450cos 50t=250  

⟺450cos 50t=-300 ⟺cos 50t=-23  

⟺ [50t≈2,3+k2π   50t≈-2,3+k2π (k∈Z, t≥0)

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp 

Ta được kết quả gần đúng là 2,3).

⟺ [t≈115+100k       t≈-115+100k (k∈Z, t≥0)

Vậy phương trình có các nghiệm là t≈115+100k và t≈-115+100k với k∈Z, t≥0.

+) Ta có:

550+450cos 50t=100  

⟺450cos 50t =-450⟺cos 50t=-1  

⟺50t=π+k2π k∈Z, t≥0 

⟺t=50+100k, k∈Z, t≥0  

Vậy phương trình có các nghiệm là t = 50 + 100k với k ∈ ℤ, t ≥ 0.

4. PHƯƠNG TRÌNH TAN X = M

HĐ5

4. a) Với x∈-2;2 ta thấy tan x =1 tại x=4.

Do đó đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y =tan x trên khoảng -2;2 tại điểm có hoành độ là 4.

Do hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại các điểm có hoành độ là x=4+kπ, (k∈Z).

1. b) Phương trình tan x =1 có các nghiệm là:

x=4+kπ, (k∈Z).

Công thức nghiệm:

Gọi là số thực thuộc khoảng -2;2 sao cho tan =m. Khi đó với mọi m∈R, ta có:

tan x =m⟺tan x =tan ⟺x=α+kπ  

(k∈Z).

Chú ý

Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho tan x =tan o như sau:

tan x =tan o ⟺x=o+k180o, k∈Z 

Ví dụ 7: (SGK – tr.37)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.38).

Luyện tập 7

1. a) Điều kiện x≠2+kπ, k∈Z

tan x =0⟺x=kπ, k∈Z. 

1. b) tan x =tan 67o ⟺x=67o+k180o, (k∈Z).

Vậy các góc lượng giác x cần tìm là x=67o+k180o, (k∈Z).

5. PHƯƠNG TRÌNH COT X = M

HĐ6

1. a) Với x∈0;π, ta thấy cot x =-1 tại x=3π4

Do đó đường thẳng y = -1 cắt đồ thị hàm số y=cot x trên khoảng (0; π) tại điểm có hoành độ là 3π4.

Do hàm số y=cot x  tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = ‒1 cắt đồ thị hàm số y=cot x tại các điểm có hoành độ là x=3π4+kπ, (k∈Z).

1. b) Phương trình cot x =-1 có các nghiệm là x=3π4+kπ, (k∈Z).

Công thức nghiệm

Gọi là số thực thuộc khoảng 0;π sao cho cot =m. Khi đó với mọi m∈R, ta có:

cot x =m⟺cot x =cot ⟺x=α+kπ 

(k∈Z) 

Chú ý

Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho: 

cot x =cot ao ⟺x=ao+k180o, (k∈Z) 

Ví dụ 8: (SGK – tr.38).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.38).

Luyện tập 8

1. a) Do cot x =1 nên:

 cot x =cot 4 ⟺x=4+kπ, (k∈Z). 

1. b) cot x =cot (-83o) ⟺x=-83o+k180o, (k∈Z).

6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Ví dụ 9: (SGK – tr.39).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.39).

Luyện tập 9.

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”.

1. a) Bấm liên tiếp 

Ta được kết quả gần đúng là 0,201.

Vậy phương trình sinx = 0,2 có các nghiệm là:

x≈0,201+k2, k∈Z và 

x≈π-0,201+k2π, k∈Z.

1. b)  Bấm liên tiếp:

Ta được kết quả gần đúng là 1,772.

Vậy phương trình cos x =-15 có các nghiệm là: x≈±1,772+k2π, k∈Z.

1. c) Bấm liên tiếp:

Ta được kết quả gần đúng là 0,955.

Vậy phương trình tan x =2 có các nghiệm là: x≈0,955+kπ, k∈Z.

Ví dụ 10: (SGK – tr.39).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.39).